1、数学理试卷一.选择题（每题5分，共10题）1.设是两个非空集合，定义运算，已知，则 （ ）A. B. C. D.2.已知是实数，若复数是纯虚数，则 （ ）A. B. C. D. 3.在中，角所对的边为.若，则 A. B. C. D. （ ） 4.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（ ） A.3个 B.4个 C.99个 D.100个5. 小赵和小王约定在早上7:00至7:30之间到某公交站搭乘公交车去上学.已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7:10
2、,7:20,7:30，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为 （ ）A. B. C. D. 6.若函数的图象上的任意一点满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数值具有性质的是 （ ）A. B. C. D.7. 已知下列命题： 设m为直线，为平面，且m，则“m/”是“”的充要条件； 的展开式中含x3的项的系数为60； 设随机变量N(0，1)，若P(2)=p，则P(-20)=； 若不等式|x+3|+|x-2|2m+1恒成立，则m的取值范围是(，2)； 已知奇函数满足，且0x时，则函数在，上有5个零点 其中所有真命题的序号是 （ ）A. B. C. D.8.在边长为
3、1的正方形中，为的中点，点在线段上运动，则的取值范围是 （） A. B. C. D. 9.已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为 （ ）A.2 B.4 C.10 D.610.函数在区间上零点的个数为 （） A.3 B.4 C.5 D.6 二填空题11. 某程序的框图如上右图所示，执行该程序， 若输入的为l6，则输出的的值为 .12.某校开设9门课程供学生选修，其中3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有 种.13.已知圆和两点，若点在圆上且，则满足条件的点有 个.14.在中，为上一点，且，为上一点，且，
4、则取最小值时，向量的模为 .15.已知函数的图象与直线的交点为，函数的图象与直线的交点为，恰好是点到函数图象上任意一点的线段长的最小值，则实数的值是 .三解答题16.（12分）已知（1）求函数的最小正周期和函数在上的单调减区间；（2）若中，求角.17.（12分）如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，,且交于点，是上任意一点. (1)求证：；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值. 18.（12分）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得10
5、0分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。19.（12分）已知点在函数的图象上.(1)若数列是等差数列，求证：数列是等比数列；(2)若数列的前项和，过点的直线与两坐标轴所围图形的面积为，求最小的实数，使得对任意的，恒成立.20.（13分）设函数.(1)求的单调区间；(2)若存在区间，使在上的值域是，求得取值范围.
6、21.（14分）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.17解：（1）因为平面，所以，因为四边形为菱形，所以又因为分（2）连接在中，所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设则，由（1）知，平面的一个法向量为得，令，得分因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以分设与平面所成的角为.因为，所以所以与平面所成角的正弦值为.分18. 解：（1）可能取值有，10，20，100，分故分布列为1020100P（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的
7、概率是则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是分（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是分这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少分19.解：(1)设数列的公比为，则对恒成立，依题意的，则，所以是非零常数，从而数列是等比数列.分（2）当时，当时，也满足此式，所以数列的通项公式是.分由可得，.所以.从而过着两点的直线方程是，可得此直线与坐标轴的交点.因此，分由于，所以数列单调递减，即数列的最大项为，要使任意的，恒成立，只需.所以实数的最小值为.分20解：（1）由题意得，函数 的定义域是, ,令则,当 即时，函数 单调递减;当即时,函数单调递增，所以在上单调递减，在 上单调递增，则的最小值为 ，所以 ，即的单调递增区间是.分（2）由（1）得在区间上单调递增，又在上的值域是，所以 其中 ，从而 ，由 得 ，令 ，则，令则，所以 在上单调递增， ,当 时，,所以，当 时，,所以，所以 在 上单调递增，在上单调递增，所以的最小值为 ，故由题意可知 ，解得 ，即 的取值范围是 .分
