1、73 球的表面积和体积考 纲 定 位重 难 突 破1.了解球的体积、表面积公式2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.重点：利用球的表面积公式和球的体积公式解决几何体的度量问题难点：球的截面的性质，运用球的表面积和体积公式灵活解决生活中的实际问题.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业 自主梳理一、球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的；被不经过球心的平面截得的圆叫作球的.二、球的切线与圆类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球，其中它们的交点称为直线与球的.大圆小圆相切切点三、球的表面积与体积公式双基自测1用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积
2、为，则球的体积为()A.83 B.8 23 C8 2 D.323解析：截面面积为，则该小圆的半径为 1.设球的半径为 R，则 R212122，R 2.V 球43R38 23，故选 B.答案：B2若球的半径扩大为原来的 3 倍，则它的表面积扩大为原来的几倍()A1 B3C9 D27解析：设球的半径为 R，则 4(3R)236R2，所以当球的半径扩大为原来的 3 倍时，它的表面积扩大为原来的 9 倍答案：C3已知球 O 的表面积为 16，则球 O 的体积为()A.43 B.83C.163 D.323 解析：因为球 O 的表面积是 16，所以球 O 的半径为 2，所以球 O 的体积为43 23323
3、，故选 D.答案：D4一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 4 3，则该正方体的表面积为_解析：设球的半径为 r，则43r34 3，r 3.设正方体边长为 a，则 3a2 3，a2，该正方体的表面积为 S 正方体6a224.答案：24探究一 球的表面积与体积的计算典例 1 已知过球面上三点 A，B，C 的截面到球心的距离等于 3，且 ACBC 2，AB2，求球面面积与球的体积解析 如图所示，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1平面 ABC于 O1，由于 OAOBOCR，则 O1 是ABC 的外心由 ACBC 2，AB2，知ABC 是 AB 为斜边的直角三角形O1 是 AB 的
4、中点，在 RtAOO1中，OO1 3，O1A12AB1.OA2，即 R2.S 球面4R216，V 球43R3323.1球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求球的半径2在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面的关系 d R2r2.1已知球心 O 到过球面上三点 A，B，C 的截面的距离等于球半径的一半，且 ABBCCA3 cm，求球的体积解析：如图所示，设过 A，B，C 三点的截面为圆 O，连接 OO，AO，AO，因为
5、ABBCCA3 cm，所以 O为正三角形 ABC 的中心，且 AO 33 AB 3 cm.设球的半径为 R，则 OO12R.由球的截面性质，知OOA 为直角三角形，所以 AO OA2OO2R214R2 32 R，所以 R2 cm.所以 V 球43R3323(cm3)探究二 球的表面积与体积的应用典例 2 如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现我们来重温这个伟大发现求证：(1)球的表面积等于圆柱的侧面积；(2)球的表面积等于圆柱表面积的23；(3)球的体积等于圆柱体积的23.证明 设球的
6、半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R.S 球4R2.S 圆柱侧2R2R4R2.S 圆柱2S 圆柱底S 圆柱侧2R24R26R2.(1)S 球S 圆柱侧，即球的表面积等于圆柱的侧面积(2)S球S圆柱4R26R223，即球的表面积等于圆柱表面积的23.(3)V球V圆柱43R3R22R23.即球的体积等于圆柱体积的23.球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清是涉及体积问题还是涉及表面积问题，然后再利用等量关系进行计算2有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度解析：如图作出
7、轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为 3r，水面半径为 3r，则容器内水的体积为VV 圆锥V 球13(3r)23r43r353r3.将球取出后，设容器内水的深度为 h，则水面圆的半径为 33 h，从而容器内水的体积是 V1333 h 2h19h3.由 VV得 h3 15r.探究三 与球有关的接切问题典例 3 已知正四棱锥的底面边长为 a，侧棱长为 2a.求它的外接球的体积解析 如图，作 PE 垂直底面 ABCD 于 E，则 E 在 AC 上设外接球的半径为 R，球心为 O，连接 OA，OC，则 OAOCOP.O 为PAC 的外心，即PAC 的外接圆半径就是球的半
8、径ABBCa，AC 2a.PAPCAC 2a，PAC 为正三角形RAEcosOAE2a2cos 30 63 a，V 球43R38 627 a3.处理多面体与球之间的切接关系问题时，要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定球半径和多面体的棱长之间的数量关系，建立方程求解3有三个球，已知球 O1 内切于正方体，球 O2 与这个正方体各棱都相切，球 O3 过这个正方体的各个顶点，求球 O1、球 O2、球 O3 的表面积之比解析：设正方体的棱长为 a.球 O1 为正方体的内切球，球心 O1 是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图所示，设球 O1 的半径为 r1，表面
9、积为 S1，则 2r1a，r1a2，所以 S14r21a2.球 O2 与正方体各棱的切点为各棱的中点，过正方体的两个相对面的面对角线作截面，如图所示，设球 O2 的半径为 r2，表面积为 S2，则 2r2 2a，r2 22 a，所以 S24r222a2.球 O3 过正方体的各个顶点，即正方体的各个顶点都在球面上，过正方体的体对角线作截面，如图所示，设球 O3 的半径为 r3，表面积为 S3，则 2r3 3a，r3 32 a，所以 S34r233a2.故这三个球的表面积之比 S1S2S3a22a23a2123.球的平行截面问题因思维不严密致误典例 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分
10、别为 49 cm2和 400 cm2，求球的表面积解析(1)当球心不在两个截面之间时，如图，设 ODx cm，由题意知 CA249，CA7(cm)，BD2400，BD20(cm)设球的半径为 R cm，则有(CDDO)2CA2R2OD2DB2，即(9x)272x2202，x15(cm)，R25(cm)S 球4R22 500(cm2)(2)当球心在两个截面之间时，如图，设 ODx cm，则 OC9x，设球的半径为 R cm，可得 x2202(9x)272R2，此方程无正数解，即此种情况不可能综上可知，球的表面积是 2 500 cm2.错因与防范(1)此题在解题时会出现盲目认为平行截面在球心的同侧
11、，而忽略了在球心两侧的情况(2)球是比较特殊的旋转体，球的任何一个截面都是圆，在解决关于截面的问题时，要防止出现错误，一定先作出截面示意图，分析出可能出现的不同情况，准确合理地选择公式随堂训练 1把 3 个半径为 R 的铁球熔成一个底面半径为 R 的圆柱，则圆柱的高为()AR B2R C3R D4R解析：设圆柱的高为 h，则 R2h343R3，则 h4R.答案：D2有两个球和一个正方体，球 O1 与正方体各个面相内切，球 O2 过正方体各顶点，则球 O1 与球 O2 的表面积之比为()A.13 B.14C.33D.12解析：设正方体棱长为 a，球 O1，O2的半径分别为 R1，R2，则 2R1
12、a,2R2 3a，R1R21 3，表面积之比为 13.答案：A3长方体共顶点的三条棱长分别为 3,4,5，则它的外接球的表面积为_解析：球的直径等于长方体的对角线长，即 2R 3242525 2，R5 22，S球4R245 22250.答案：504过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48 cm2，则球的表面积为_ cm2.解析：易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆，AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48 cm2，可得 AC4 3 cm.设 OAR，则 OC12R，所以 R2(12R)2(4 3)2，解得 R8 cm.故球的表面积 S4R2256(cm2)答案：256课时作业
