1、第2讲 计数原理、数学归纳法、随机变量及其分布列 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理，B级要求.(2)排列与组合，B级要求.(3)数学归纳法的简单应用，B级要求；(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.真 题 感 悟(2016江苏卷)(1)求 7C364C47的值；(2)设 m，nN*，nm，求证：(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2nCmn1(n1)Cmn(m1)Cm2n2.(1)解 7C364C477204350.(2)证明 对任意的 m，nN*，nm，当 nm 时，左边(m1)Cmmm1，右边(m1
2、)Cm2m2m1，原等式成立.假设 nk(km)时命题成立.即(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2kCmk1(k1)Cmk(m1)Cm2k2，当 nk1 时，左边(m1)Cmm(m2)Cmm1(m3)Cmm2kCmk1(k1)Cmk(k2)Cmk1(m1)Cm2k2(k2)Cmk1，右边(m1)Cm2k3.而(m1)Cm2k3(m1)Cm2k2(m1)（k3）！（m2）！（km1）！（k2）！（m2）！（km）！(m1)（k2）！（m2）！（km1）！(k3)(km1)(k2)（k1）！m！（km1）！(k2)Cmk1，(m1)Cm2k2(k2)Cmk1(m1)Cm2k3，左边右边.
3、即 mk1 时命题也成立.综合可得原命题对任意 m，nN*，nm 均成立.考 点 整 合 1.两种计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：Amnn(n1)(n2)(nm1)n！（nm）！(mn，m，nN*).3.组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：Cmnn（n1）（n2）（nm1）m！n！m！（nm）！(mn，m，nN*).(3)组合数性质：CmnCnmn；CmnCm1nCmn1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)，证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)，假设nk(kn0，k
4、N*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可.4.数学归纳法 5.概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1pi0(i1，2，3，n)；2p1p2p3pn1.(2)特殊的概率分布列：01 分布(两点分布)符号表示：X01 分布；超几何分布：1符号表示：XH(n，M，N)；2概率分布列：XH(r；n，M，N)P(Xr)CrMCnrNMCMN；二项分布(又叫独立重复试验，伯努
5、利试验)：1符号表示：XB(n，p)；2概率分布列：P(Xk)Cknpk(1p)nk.注意：P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.热点一 与计数原理有关的问题【例 1】(2011江苏卷)设整数 n4，P(a，b)是平面直角坐标系 xOy 中的点，其中 a，b1，2，3，n，ab.(1)记 An 为满足 ab3 的点 P 的个数，求 An；(2)记 Bn 为满足13(ab)是整数的点 P 的个数，求 Bn.解(1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2)设 k 为正整数，记 fn(k)为满足条件以及 ab3k 的点 P 的个数，只要讨论 fn(k)1 的情形.由 1b
6、a3kn3k 知 fn(k)n3k，且kn13，设 n13mr，其中 mN*，r0，1，2，则 km，所以 Bnmk1fn(k)mk1(n3k)mn3m（m1）2m（2n3m3）2，将 mn1r3代入上式，化简得 Bn（n1）（n2）6r（r1）6，所以 Bnn（n3）6，n3是整数，（n1）（n2）6，n3不是整数.探究提高 此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算.【训练 1】(2016南京、盐城、徐州、连云港模拟)设(1x)na0a1xa2x2anxn，nN*，n2.(1)设 n11，求|a6|a7|a8|a9|a1
7、0|a11|的值；(2)设 bkk1nkak1(kN，kn1)，Smb0b1b2bm(mN，mn1)，求SmCmn1 的值.解(1)因为 ak(1)kCkn，kN，当 n11 时，|a6|a7|a8|a9|a10|a11|C611C711C811C911C1011C111112(C011C111C1011C1111)2101 024.(2)bkk1nkak1(1)k1k1nkCk1n(1)k1Ckn，当 1kn1 时，bk(1)k1Ckn(1)k1(Ckn1Ck1n1)(1)k1Ck1n1(1)k1Ckn1(1)k1Ck1n1(1)kCkn1.当 m0 时，SmCmn1 b0C0n1 1.当
8、1mn1 时，Sm1k1m(1)k1Ck1n1(1)kCkn111(1)mCmn1(1)mCmn1.所以SmCmn1 1.综上，SmCmn1 1.热点二 数学归纳法的应用【例2】(2016南通调研)已知函数f0(x)x(sin xcos x)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)因为fn(x)为fn1(x)的导数，所以f1(x)f0(x)(sin xcos x)x(cos xsin x)(x1)cos x(x1)(sin x)，同理，f2(x)f1(x)(x2)sin x(x2)cos x.
9、(2)由(1)得 f3(x)f2(x)(x3)cos x(x3)sin x，把 f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为f1(x)(x1)sinx2(x1)cosx2，f2(x)(x2)sinx22(x2)cosx22，f3(x)(x3)sinx32(x3)cosx32，猜测 fn(x)(xn)sinxn2(xn)cosxn2.(*)下面用数学归纳法证明上述等式.当 n1 时，由(1)知，等式(*)成立；假设当 nk 时，等式(*)成立，即 fk(x)(xk)sinxk2(xk)cosxk2，则当 nk1 时，fk1(x)fk(x)sinxk2(xk)cosxk2 cosxk2(xk)si
10、nxk2(xk1)cosxk2 x(k1)sinxk2x(k1)sinxk12 x(k1)cosxk12 ，即当 nk1 时，等式(*)成立.综上所述，当 nN*时，fn(x)(xn)sinxn2(xn)cosxn2 成立.探究提高 在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可.在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项.同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法.【训练2】(2015江苏卷)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)
11、当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1，2，3，4，5，6；若a2，则b1，2，4，6；若a3，则b1，3，6.所以f(6)13.(2)当 n6 时，f(n)n2n2n3，n6t，n2n12 n13，n6t1，n2n2n23，n6t2，n2n12 n3，n6t3，n2n2n13，n6t4，n2n12 n23，n6t5(tN*).下面用数学归纳法证明：当 n6 时，f(6)62626313，结论成立；假设 nk(k6)时结论成立，那么 nk1 时，Sk1 在 Sk 的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2
12、，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：1)若 k16t，则 k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k2k12 k23 3(k1)2k12 k13，结论成立；2)若 k16t1，则 k6t，此时有f(k1)f(k)1k2k2k31(k1)2（k1）12（k1）13，结论成立；3)若 k16t2，则 k6t1，此时有f(k1)f(k)2k2k12 k13 2(k1)2k12（k1）23，结论成立；4)若 k16t3，则 k6t2，此时有 f(k1)f(k)2k2k2k23 2(k1)2（k1）12k13，结论成立；5)若 k16t4，则 k6t3，此时有 f(k1)f(k)2k2k12
13、 k32(k1)2k12（k1）13，结论成立；6)若 k16t5，则 k6t4，此时有f(k1)f(k)1k2k2k13 1(k1)2（k1）12（k1）23，结论成立.综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立.热点三 随机变量的分布列及其数学期望【例3】(2016扬州高三期末)某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同)，每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球，则可获得奖金m元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金n元.活动规定：参与者每个箱子中只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可
14、先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.(1)如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金n元的概率；(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.解(1)设“参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n 元”为事件 M.则 P(M)133414，即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金 n 元的概率为14.(2)参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金额 X 的可能取值为 0，m，mn，则 P(X0)34，P(Xm)142316，P(Xmn)1413 112，故 X 的分布列为X0mmnP34161
15、12E(X)034m16(mn)112m4 n12.先在乙箱中摸球，参与者获奖金额 Y 的可能取值为 0，n，mn，则 P(Y0)23，P(Yn)133414，P(Ymn)1314 112，故 Y 的分布列为Y0nmnP2314112E(Y)023n14(mn)112m12n3.E(X)E(Y)2m3n12.当 E(X)E(Y)0 时，mn32，当 E(X)E(Y)0 时，mn32，当 E(X)E(Y)0 时，mn32，综上，当mn32时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金额的期望值较大；当mn32时，两种顺序摸球，参与者获奖金额的期望值相等；当mn32时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中
16、摸球，参与者获奖金额的期望值较大.探究提高 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算.【训练3】(2012江苏卷)设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1.(1)求概率P(0)；(2)求的分布列，并求其数学期望E().解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的 1个，过任意 1 个顶点恰有 3 条棱，所以共有 8C23对相交棱，因此 P(0)8C23C
17、2128366 411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 2，其中距离为 2的共有 6 对，故 P(2)6C212 111，于是 P(1)1P(0)P(2)1 411 111 611，所以随机变量 的分布列是012 P411611111因此 E()1 611 2 1116 211.1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘.2.数学归纳法主要是用来解决与自然数有关的命题.通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能
18、力，要了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用.3.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式)等，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.4.求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
