1、加练课3 直线的综合应用学习目标1.理解过两条直线交点的直线的方程的求法.2.掌握点关于点的对称点、点关于线的对称点的求法.3.能用基本不等式求距离的最值问题.自主检测必备知识 夯实基础，自我检测1.若直线l 与直线y=1,x=7 分别交于点P,Q ，且线段PQ 的中点的坐标为(1,-1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B.-13 C.-32 D.23答案：B解析：依题意，设点P(a,1),Q(7,b) ，则a+7=2, b+1=-2, 解得a=-5,b=-3 ， 直线l 的斜率为-3-17+5=-13 .2.已知点P(x0,y0) 是直线l ：Ax+By+C=0 外一点，则方程Ax+By
2、+C+(Ax0+By0+C)=0 表示( )A.过点P 且与l 垂直的直线B.过点P 且与l 平行的直线C.不过点P 且与l 垂直的直线D.不过点P 且与l 平行的直线答案：D解析：因为点P(x0,y0) 不在直线Ax+By+C=0 上，所以Ax0+By0+C0 ，所以直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0 不经过点P ，故排除A、B；又直线Ax+By+C+(Ax0+By0+C)=0 与直线l ：Ax+By+C=0 平行，所以排除C，故选D.3.设点A(-1,0),B(1,0) ，直线2x+y-b=0 与线段AB 相交，则b 的取值范围是 .答案：-2,2解析：将2x+y-b=0 变形
3、为y=-2x+b ，所以b 为直线y=-2x+b 在y 轴上的截距，如图，当直线y=-2x+b 过点A(-1,0) 和点B(1,0) 时，b 分别取得最小值和最大值，所以b 的取值范围是-2,2 .4.已知直线l1 ：x+a2y+1=0 和直线l2 ：(a2+1)x-by+3=0(a,bR) .（1）若l1l2 ，求b 的取值范围；（2）若l1l2 ，求|ab| 的最小值.答案：（1）因为l1l2 ，所以-b-(a2+1)a2=0 ，即b=-a2(a2+1)=-a4-a2=-(a2+12)2+14 ，因为a20 ，所以b0 .又因为a2+13 ，所以b-6 .故b的取值范围是(-,-6)(-6
4、,0 .（2）因为l1l2 ，所以a2+1-a2b=0 ，显然a0 ，所以ab=a+1a ，则|ab|=|a+1a|2 ，当且仅当a=1 时等号成立，所以|ab| 的最小值为2.互动探究关键能力 探究点一 直线中的最值问题精讲精练例直线l 过点P(1,4) ，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A、B 两点，O 为坐标原点，当|OA|+|OB| 取最小值时，求l 的方程.答案：由题意得l的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的方程为y-4=k(x-1)(k0) ，令y=0 ，可得A(1-4k,0) ，令x=0 ，可得B(0,4-k) ，所以|OA|+|OB|=(1-4k)+(4-k)=5-(k+
5、4k)=5+(-k+4-k)5+4=9 ，当且仅当-k=4-k 且k0 ，即k=-2 时，|OA|+|OB| 取得最小值，这时l 的方程为2x+y-6=0 .解题感悟求解与直线方程有关的最值问题时，先设出直线的方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.迁移应用1.直线x-2y+b=0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A.-2,2 B.(-,-22,+)C.-2,0)(0,2 D.(-,+)答案：C解析：令x=0 ，得y=b2 ，令y=0 ，得x=-b ，所以所求三角形的面积为12|b2|-b|=14b2 ，且b0 ，所以14b21 ，所以b24 ，故b的取
6、值范围是-2,0)(0,2 .2.已知直线x+2y=2 分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P(a,b) 在线段AB 上，则ab 的最大值为 .答案：12解析：由题意知直线的方程可化为x2+y=1 ，故直线与x轴的交点为A(2,0) ，与y 轴的交点为B(0,1) ，由动点P(a,b) 在线段AB 上可知0b1 ，且a+2b=2 ，所以a=2-2b ，故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2(b-12)2+12 ，因为0b1 ，所以b=12 时，ab 取得最大值12 .探究点二 对称性问题精讲精练例已知直线l ：2x-3y+1=0 ，点A(-1,-2) ，求：（1）直线l 关于
7、点A(-1,-2) 对称的直线l 的方程；（2）直线m ：3x-2y-6=0 关于直线l 对称的直线m 的方程.答案：（1）设P(x,y) 为l 上任意一点，则P(x,y) 关于点A(-1,-2) 的对称点为P(-2-x,-4-y) ，因为P 在直线l 上，所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0 ，即2x-3y-9=0 .（2）在直线m 上取一点M(2,0) ，则M(2,0) 关于直线l 的对称点M 必在直线m 上.设M(a,b) ，则2a+22-3b+02+1=0,b-0a-223=-1, 解得M(613,3013) .设直线m 与直线l 的交点为N ，联立得2x-3y+1=0,3x-2
8、y-6=0, 解得N(4,3) .又因为m 经过点N(4,3) ，所以由两点式得直线m 的方程为9x-46y+102=0 .解题感悟（1）直线关于点对称：求直线l 关于点M(m,n) 对称的直线l 的问题，主要依据l 上的任一点T(x,y) 关于M(m,n) 的对称点T(2m-x,2n-y) 必在l 上.（2）直线关于直线对称：此类问题一般转化为点关于直线对称，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.迁移应用已知直线l ：y=3x+3 ，求：（1）点P(4,5) 关于l 对称的点的坐标；（2）直线y=x-2 关于l 对称的直线的方程.答案：（1）设点P 关于直线l 对称
9、的点为P(x,y) ，则y+52=3x+42+3,y-5x-43=-1, 解得x=-2,y=7,所以点P 的坐标为(-2,7).（2）联立得x-y-2=0,3x-y+3=0, 解得两直线的交点的坐标为(-52,-92) ，取直线x-y-2=0 上一点A(0,-2) ，设点A 关于直线l ：3x-y+3=0 对称的点为A(x0,y0) ，则y0+2x0-03=-1, 3x02-y0-22+3=0, 解得x0=-3,y0=-1,故所求直线过点(-52,-92) 与(-3,-1)，所以所求直线的方程为y+92=-7(x+52) ，即7x+y+22=0 .评价检测素养提升直观想象、数学运算、数学建模直
10、线方程在实际问题中的应用（2020江苏江阴四校高二期中）某地区现有一个直角梯形水产养殖区ABCD ，ABC=90 ，ABCD ，AB=800m ，BC=1600m ，CD=4000m ，在点P 处有一灯塔（如图），且点P 到BC,CD 的距离都是1200m ，现拟将养殖区ACD 分成两块，经过灯塔P 增加一道分隔网EF ，在AEF 内试验养殖一种新的水产品，当AEF 的面积最小时，对原有水产品养殖的影响最小.设|AE|=dm .（1）若P 是EF 的中点，求d 的值；（2）求对原有水产品养殖的影响最小时d 的值，并求AEF 的最小面积.答案：（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立
11、如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),C(800,1600),B(800,0),P(-400,400),D(-3200,1600) .AC 所在直线的方程为y=2x ，AD 所在直线的方程为y=-12x .设E(-2m,m),F(n,2n),m0,n0 .P 是EF 的中点，-2m+n=-800,m+2n=800, 解得m=480,n=160,E(-960,480) ，d=|AE|=9602+4802=4805 .（2）EF 经过点P ，kPE=kPF ，即m-400-2m+400=2n-400n+400 ，化简得80m+240n=mn .由基本不等式得mn=80m+240n1603mn
12、，即mn76800 ，当且仅当m=3n=480 时等号成立.kACkAD=-1 ，ACAD ，SAEF=12|AE|AF|=125m5n=52mn5276800=192000(m2) ，此时E(-960,480),d=|AE|=4805 .故对原有水产品养殖的影响最小时，d=4805 ，AEF 的最小面积为192000m2 .素养探究：（1）建立平面直角坐标系，渗透了直观想象的素养；求出直线AC,AD 的方程，根据P 为EF 的中点列方程得出点E 的坐标，从而可求出d 的值，渗透了数学运算的素养.（2）根据基本不等式得出|AE|AF| 的最小值，进而求出AEF 的最小面积，渗透了数学建模的素养
13、.迁移应用如图，公路AM、AN 围成一块顶角为 的耕地，其中tan=-2 ，P 处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN 的距离分别为3km,5km ，现要过点P 修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建一个工业园区.（1）以A 为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求点P 的坐标；（2）三条公路围成的工业园区ABC 的面积恰为15km2 ，求公路BC 所在直线的方程.答案：（1）如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.因为tan=-2 ，所以直线AN 的方程是y=-2x .设点P(x0,y0) .因为点P 到直线AM 的距离为3，所以y0=3 .由点P 到
14、直线AN 的距离为5 得|2x0+y0|5=5 ，解得x0=1 或x0=-4 （舍去），所以点P 的坐标为(1,3).（2）显然直线BC 的斜率存在.设直线BC 的方程为y-3=k(x-1),k(-2,0) .令y=0 ，得x=1-3k ，即B(0,1-3k) .由y-3=k(x-1),y=-2x, 解得x=k-3k+2 ，y=6-2kk+2 ，即C(k-3k+2,6-2kk+2) ，SABC=12(1-3k)6-2kk+2=-k2+6k-9k2+2k=-1+8k-9k2+2k .SABC=15 ，-1+8k-9k2+2k=15 ，解得k=-34 ， 直线BC 的方程为3x+4y-15=0 .
