1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 立体几何中的向量方法 高考定位 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟(2016全国卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 DAFE 与二面角 CBEF 都是 60.(1)证明：平面 ABEF平面 EFDC；(2)求二面角 EBCA 的余弦值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突
2、破归纳总结思维升华(1)证明 由已知可得 AFDF，AFFE，所以 AF平面 EFDC，又 AF平面ABEF，故平面 ABEF平面 EFDC.(2)解 过 D 作 DGEF，垂足为 G，由(1)知 DG平面 ABEF.以 G 为坐标原点，GF 的方向为 x 轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz.由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|3，可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0，3).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华由已知，ABEF，所以 AB平面 EFDC，又平面 ABCD
3、平面EFDCCD，故 ABCD，CDEF，由 BEAF，可得 BE平面 EFDC，所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60，从而可得 C(2，0，3).所以EC(1，0，3)，EB(0，4，0)，AC(3，4，3)，AB(4，0，0).设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量，则nEC0，nEB0，即x 3z0，4y0.所以可取 n(3，0，3).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华设 m 是平面 ABCD 的法向量，则mAC0，mAB0.同理可取 m(0，3，4)，则 cosn，m nm|n|m|2 1919.故二面角 EBCA 的余弦值为2 1919.真题感悟考
4、点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，则(1)线面平行l aa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直l aaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行 vva2a3，b2b3，c2c3.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(4)面面垂直 vv0a2a3b2b3c2c30.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，b1，c1)，b(a2，
5、b2，c2)，平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设 l，m 的夹角为 0 2，则 cos|ab|a|b|a1a2b1b2c1c2|a21b21c21 a22b22c22.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)线面夹角设直线 l 与平面 的夹角为 0 2，则sin|a|a|cosa，|.(3)面面夹角设平面，的夹角为(0)，则|cos|v|v|cos，v|.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点一 向量法证明平行与垂直【例1】如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为
6、AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法求证：(1)OM平面 BCF；(2)平面 MDF平面 EFCD.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华证明 法一 由题意，得 AB，AD，AE 两两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为 1，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M12，0，0，O12，12，12.(1)OM 0，12，12，BA(1，0，0)，OM BA0，OM BA.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华棱柱 ADEBCF 是直三棱柱，AB平面 BCF，BA是平面BCF 的一个法向量
7、，且 OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).DF(1，1，1)，DM 12，1，0，DC(1，0，0)，CF(0，1，1)，由n1DF 0，n1DM 0.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华得x1y1z10，12x1y10，解得y112x1，z112x1，令 x11，则 n11，12，12.同理可得 n2(0，1，1).n1n20，平面 MDF平面 EFCD.法二(1)OM OF FBBM 12DF BF12BA12(DB BF)BF12BA12BD 12BF12BA12(
8、BCBA)12BF12BA12BC12BF.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华向量OM 与向量BF，BC共面，又 OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA 两两垂直，CD BA，FCBCBF，OM CD 12BC12BF BA0，OM FC12BC12BF(BCBF)12BC 212BF 20.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华OMCD，OMFC，又 CDFCC，OM平面 EFCD.又 OM平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD.探究提高 解决本类问题的关键步骤是建立恰当的坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数
9、量积或数乘运算.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练1】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，PAAB2，BAD60，E是PA的中点.(1)求证：直线 PC平面 BDE；(2)求证：BDPC.证明 设 ACBDO.因为BAD60，AB2，底面 ABCD 为菱形，所以 BO1，AOCO 3，ACBD.如图，以 O 为坐标原点，以 OB，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点 O 且平行于 PA 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华则 P(0，3，2)，A(0，3，0)，B(1，0，0)，
10、C(0，3，0)，D(1，0，0)，E(0，3，1).(1)设平面 BDE 的法向量为 n1(x1，y1，z1)，因为BE(1，3，1)，BD(2，0，0)，由n1BD 0，n1BE0，得2x10，x1 3y1z10，令 z1 3，得 y11，所以 n1(0，1，3).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华又PC(0，2 3，2)，所以PCn102 32 30，即PCn1，又 PC平面 BDE，所以 PC平面 BDE.(2)因为PC(0，2 3，2)，BD(2，0，0)，所以PCBD 0.故 BDPC.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 利用空间向量求空间角 微题
11、型1 求线面角【例 21】(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M 为线段AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点.(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 由已知得 AM23AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN，由 N 为 PC 中点知TNBC，TN12BC2.又 ADBC，故 TN 綉 AM，四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN平面PAB，所以 MN平面 PAB.真题感悟
12、考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)解 取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，AE AB2BE2AB2BC22 5.以 A 为坐标原点，AE的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N52，1，2，PM(0，2，4)，PN52，1，2，AN52，1，2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则nPM 0，nPN0，即2y4z0，52 xy2z0，可取 n(0，2，1).于是 cosn，AN nAN|n|A
13、N|8 525.设 AN 与平面 PMN 所成的角为，则 sin 8 525，直线 AN 与平面 PMN 所成的角的正弦值为8 525.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 求二面角【例 22】(2016全国卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6，点 E，F 分别在 AD，CD 上
14、，AECF54，EF 交 BD 于点H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.OD 10.(1)证明：DH平面 ABCD；(2)求二面角 BDAC 的正弦值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24.由 EFAC 得OHDOAEAD14.所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华又 DHEF，而 OHEFH，所以 DH平面 ABCD
15、.(2)解 如图，以 H 为坐标原点，HF 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 Hxyz.则 H(0，0，0)，A(3，1，0)，B(0，5，0)，C(3，1，0)，D(0，0，3)，AB(3，4，0)，AC(6，0，0)，AD(3，1，3).设 m(x1，y1，z1)是平面 ABD的法向量，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华则mAB0，mAD 0，即3x14y10，3x1y13z10，所以可取 m(4，3，5).设 n(x2，y2，z2)是平面 ACD的法向量，则nAC0，nAD 0，即6x20，3x2y23z20，所以可取 n(0，3，1).真题感悟考点整合热点聚焦题
16、型突破归纳总结思维升华于是 cosm，n mn|m|n|1450 107 525.sinm，n2 9525.因此二面角 BDAC 的正弦值是2 9525.探究提高 利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(2015福建卷)如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，B
17、EEC，ABBEEC2，G，F 分别是线段BE，DC 的中点.(1)求证：GF平面 ADE；(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法一(1)证明 如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，又 G 是 BE 的中点，所以 GHAB，且 GH12AB.又 F 是 CD 的中点，所以 DF12CD.由四边形 ABCD 是矩形得，ABCD，ABCD，所以 GHDF，且 GHDF，从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH.又 DH平面 ADE，GF平面 ADE，所以 GF平面 ADE.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳
18、总结思维升华(2)解 如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQEC.因为 BECE，所以 BQBE.又因为 AB平面 BEC，所以 ABBE，ABBQ.以 B 为原点，分别以BE，BQ，BA的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1).因为 AB平面 BEC，所以BA(0，0，2)为平面 BEC 的法向量.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华设 n(x，y，z)为平面 AEF 的法向量.又AE(2，0，2)，AF(2，2，1)，由nAE0，nAF0，得2x2z0，2x2yz0.取 z2，得
19、 n(2，1，2).从而 cosn，BA nBA|n|BA|42323，所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华法二(1)证明 如图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF.又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE.又 AE平面 ADE，GM平面 ADE，所以 GM平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MFAD.又 AD平面 ADE，MF平面 ADE.所以 MF平面 ADE.又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF，所以平面 GMF平面 ADE.因为 GF平面 GMF，所以
20、 GF平面 ADE.(2)解 同法一.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点三 向量法解决立体几何中的探索性问题【例 3】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面 ABCD，Q 为 AD 的中点，PAPD2，BC12AD1，CD 3.(1)求证：平面 PQB平面 PAD；(2)在棱 PC 上是否存在一点 M，使二面角 MBQC 为 30，若存在，确定 M 的位置；若不存在，请说明理由.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 ADBC，BC12AD，Q 为 AD 的中点，BCDQ 且 BCDQ，四边形 BCD
21、Q 为平行四边形，CDBQ.ADC90，AQB90，即 QBAD，PAPD，PQAD，PQBQQ，PQ，BQ平面 PBQ，AD平面 PBQ，AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)解 当 M 是棱 PC 上靠近点 C 的四等分点时，有二面角 MBQC 为 30，理由如下：由(1)知 PQAD.平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，PQ平面 ABCD.以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴建立空间直角坐标系，则平面 BQC 的一个法向量 n(0，0，1)，Q(0，0，0)，P(0，0，
22、3)，B(0，3，0)，C(1，3，0).设满足条件的点 M(x，y，z)存在，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华则PM(x，y，z 3)，MC(1x，3y，z)，令PM tMC，其中 t0，xt（1x），yt（3y），z 3t（z），x t1t，y3t1t，z31t.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华在平面 MBQ 中，QB(0，3，0)，QM t1t，3t1t，31t，平面 MBQ 的一个法向量 m(3，0，t)，二面角 MBQC 为 30，cos 30nm|n|m|t|30t2 32，解得 t3.所以满足条件的点 M 存在，M 是棱 PC 的靠近点 C 的四等
23、分点.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高(1)确定点的坐标时，通常利用向量共线来求，如本例PM tMC 来求 M 点的坐标.(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 3】(2016北京卷)如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5.(1)求证：PD平面 PAB；(2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的
24、正弦值；(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(1)证明 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD.又 ABAD，AB平面 ABCD.AB平面 PAD.PD平面 PAD.ABPD.又 PAPD，PAABA.PD平面 PAB.(2)解 取 AD 中点 O，连接 CO，PO，PAPD，POAD.又PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华PO平面 ABCD，CO平面 ABCD，POCO，ACCD，COAD.以 O 为
25、原点建立如图所示空间直角坐标系.易知 P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，1，0)，C(2，0，0).则PB(1，1，1)，PD(0，1，1)，PC(2，0，1).CD(2，1，0).设 n(x0，y0，1)为平面 PDC 的一个法向量.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华由nPD 0，nPC0得y010，2x010，解得y01，x012.即 n12，1，1.设 PB 与平面 PCD 的夹角为.则 sin|cosn，PB|nPB|n|PB|12111411 3 33.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(3)解 设 M 是棱 PA 上一点，则存在 0，1使得AM
26、 AP，因此点 M(0，1，)，BM(1，)，因为 BM平面 PCD，所以 BM平面 PCD，当且仅当BM n0，即(1，)12，1，1 0，解得 14，所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM平面 PCD，此时AMAP14.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.两条直线夹角的范围为0，2.设直线 l1，l2 的方向向量分别为 n1，n2，其夹角为，则 cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|.2.二面角的范围为0，.设半平面 与 的法向量分别为 n1与 n2，二面角为，则|cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.
