1、1.3.2 空间向量运算的坐标表示课标解读#课标要求素养要求1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示.2.借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式.3.能用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角、长度等问题.1.逻辑推理能够推理出空间向量垂直与平行的坐标表示.2.数学运算会用空间向量的坐标运算解决立体几何问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) ，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)减法a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)数
2、乘a=(a1,a2,a3),R数量积ab = a1b1+a2b2+a3b3要点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示1.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3) ，当b0 时，平行a/ba=ba1=b1a2=b2a3=b3(R)垂直abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0模|a|=aa= a12+a22+a32夹角公式cosa,b=ab|a|b|=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b322.空间向量的坐标及两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2)
3、 ，则（1）AB=(a2-a1,b2-b1,c2-c1) ;（2） AB=|AB|= (a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2 .自主思考1.向量a 与b 表示的只是简单向量a 与b 吗？提示 不是,可以是向量a 与b 的表达式,如(a+2b)(a-3b) 等.2.a1=b1a2=b2a3=b3 ,一定能表示成a1b1=a2b2=a3b3 ?提示 不一定，当且仅当b1,b2,b3 均不为0时，a1b1=a2b2=a3b3 成立.3.在空间直角坐标系中,向量AB 的坐标与终点B 的坐标相同吗？提示 不一定相同,只有当A 为坐标原点时，AB 的坐标才与终点B 的坐标相同.名师点睛1.与
4、向量坐标有关的重要结论（1）向量a 的坐标实质是向量a 的正交分解的系数.（2）两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2), 则a=bx1=x2,y1=y2,z1=z2 .2.空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例.3.空间向量与平面向量的坐标运算之间的联系类比平面向量的坐标运算,空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广,两者实质是一样的,只是表达形式不同而已,空间向量多了个竖坐标.4.长度公式、两点间的距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关.互动探究关键能力探究点一 空间向量的坐标运算自测自评 1.已知a
5、=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1) ,则b 等于( )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案：A解析：a-b=(-1,2,-1),a=(1,-2,1) ,b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2) .2.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c ,则pq= ( )A.-1B.1C.0D.-2答案：A解析：p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),pq=10+03+(-1)1=-1 ,故选A.3.已知a=(2,-1,-2)
6、,b=(0,-1,4) ,则2a(-b)= ,(a+b)(a-b)= .答案：14; -8解析：易知2a(-b)=-2(ab)=-2(-7)=14 ,(a+b)(a-b)=(2,-2,2)(2,0,-6)=22+(-2)0+2(-6)=-8 .解题感悟空间向量坐标运算的解题方法：（1）直接计算,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.（2）由条件求向量或点的坐标,首先把向量用坐标形式设出来,然后建立方程（组）,解方程（组）求出其坐标.探究点二 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示精讲精练类型1 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题例1 （2021北京育英中学高二期末）
7、已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4) ,设a=AB,b=AC .（1）若|c|=3 ,且cBC ,求向量c ;（2）已知向量ka+b 与b 互相垂直,求k 的值;（3）若点P(1,-1,m) 在平面ABC 内,求m 的值.答案：（1）易知BC=(2,1,-2) ,因为cBC ,所以c=BC=(2,-2) ,又|c|=3 ,故92=3 ,即=1 ,所以c=(2,1,-2) 或c=(-2,-1,2) .（2）易知a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2) ,因为ka+b 与b 互相垂直,所以(ka+b)b=0 ,即kab+b2=0 ,故-k+5=0 ,所以k
8、=5 .（3）因为点P(1,-1,m) 在平面ABC 内,所以存在x,y 使得AP=xAB+yAC ,又AP=(-1,-1,m+2) ,所以-1=-x+y,-1=-x,m+2=-2y, 解得x=1,y=0,m=-2.故m=-2 .类型2 利用向量的坐标运算求夹角例2 （2021河北邢台巨鹿中学高二月考）在正四棱锥V-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,点O 是底面的中心,OV=h ,且E 是VC 的中点.（1）求cosBE,DE;（2）若BEVC ,求cosBE,DE.答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,则V(0,0,h),B(1,-1,0),C(1,1,0),E(12,12
9、,h2),D(-1,1,0). ,所以BE=(-12,32,h2),DE=(32,-12,h2) ,所以cosBE,DE=-34-34+h24104+h24=h2-6h2+10 .（2）由（1）知VC=(1,1,-h),BE=(-12,32,h2) ,若BEVC ,则BEVC=-12+32-h22=0 ,解得h=2 （负值舍去）,所以cosBE,DE=h2-6h2+10=2-62+10=-13 .解题感悟（1）解决向量平行与垂直问题时要注意：适当引入参数（比如向量a ,b 平行,可设a=b,R), 建立关于参数的方程;最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.（2）求夹角时,常利用两向量的夹角公
10、式,将向量的坐标代入求出夹角.迁移应用1.（多选题）已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,若AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1) ,则下列结论正确的有( )A.|AD|=6 B.APADC.APBD D.|AC|=53答案：BD解析：由AD=(4,2,0) 知|AD|=16+4+0=256 ,所以A中结论错误;AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1) ,所以APAD=-4+4+0=0 ,所以APAD ,即APAD ,故B中结论正确;易知BD=AD-AB=(2,3,4) ,若APBD ,则存在实数 ,使得AP=BD, 即-1=2,2=3,-1=
11、4, 此方程组无解,故AP 不平行于BD ,故C中结论错误;AD=(4,2,0),AB=(2,-1,-4) ,所以AC=AB+AD=(6,1,-4) ,所以|AC|=53 ,所以D中结论正确.故选BD.2.（2020江苏盐城东台中学高二检测）已知向量a=(1,2,-2),b=(0,2,4) ,则向量a,b 夹角的余弦值为 .答案：-2515解析：因为a=(1,2,-2),b=(0,2,4) ,所以ab=10+22+(-2)4=-4,|a|=12+22+(-2)2=3,|b|=22+42=25,所以cosa,b=ab|a|b|=-4325=-2515 .探究点三 空间向量坐标运算的运用精讲精练例
12、 （2021山东师大附中高二月考）已知在空间直角坐标系Oxyz 中,A(0,2,3) ,B(-2,1,6) ,C(1,-1,5) .（1）若点D 在直线AC 上,且BDAC ,求点D 的坐标;（2）求以BA,BC 为邻边的平行四边形的面积.答案：（1）由已知得AC=(1,-3,2) , 点D 在直线AC 上, 设AD=AC=(1,-3,2) ,即OD-OA=(1,-3,2),OD=OA+(1,-3,2)=(,2-3,3+2) ,BD=OD-OB=(,2-3,3+2)-(-2,1,6)=(+2,1-3,2-3) ,BDAC ,ACBD=(1,-3,2)(+2,1-3,2-3)=+2-3+9+4-
13、6=14-7=0 ,=12,OD=(12,12,4) ,D(12,12,4) .（2）由已知得BA=(2,1,-3),BC=(3,-2,-1) ,|BA|=22+12+(-3)2=14,|BC|=32+(-2)2+(-1)2=14,BABC=23+1(-2)+(-3)(-1)=7 ,cosB=cosBA,BC=BABC|BA|BC|=71414=12,sinB=32 , 以BA,BC 为邻边的平行四边形的面积S=141432=73 .解题感悟利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤：迁移应用1.已知OA,OB,OC 两两垂直,OA=OC=3,OB=2,M 为OB 的中点,点N 在AC 上,
14、AN=2NC .（1）求MN 的长;（2）若点P 在线段BC 上,设BPPC= ,当APMN 时,求实数 的值.答案：（1）以O 为原点,OA,OB,OC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(3,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3) .由M 为OB 的中点,点N 在AC 上,AN=2NC 可得M(0,1,0),N(1,0,2) ,MN=|MN|=(1-0)2+(0-1)2+(2-0)2=6 .（2）设P(0,y,z),BPPC= ,且点P 在线段BC 上,BP=PC ,P(0,21+,31+) .APMN,APMN=0 ,即(-3,21+,3
15、1+)(1,-1,2)=0 ,-3-21+61+=0,=53 .评价检测素养提升1.已知A(3,3,3),B(6,6,6),O 为原点,则OA 与BO 的夹角是( )A.0B. C.32 D.2答案：B2.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2) ,则a(b+c)= .答案：33.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1) 三点共线,则m+n 的值为 .答案：-3解析：由已知得AB=(3,-1,1),AC=(m+1,n-2,-2) .A ,B ,C 三点共线, 存在实数 ,使得AC=AB ,即(m+1,n-2,-2)=(3,-1,1)=(3,-,) ,m+1=3,n-2=-,-2=,解得=-2,m=-7,n=4 ,m+n=-3 .4.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4) .（1）求2a-3b 和|2a-3b| 的值;（2）求a,b .答案：（1）由已知得2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(1,-5,8) ,|2a-3b|=12+(-5)2+82=310 .（2）由已知得ab=21+(-1)1+(-2)(-4)=9,|a|=22+(-1)2+(-2)2=3,|b|=12+12+(-4)2=32 ,cosa,b=ab|a|b|=9332=22 ,0a,b,a,b=4 .
