1、评价检测素养提升课堂检测1.（2021辽宁六校协作体高二期中联考）已知平面 上的三点A(3,2,1) ,B(-1,2,0),C(4,-2,-1) ,则平面 的一个法向量为( )A.（4,-9,-16）B.（4,9,-16）C.（-16,9,4）D.（16,9,-4）答案：B解析：由已知得AB=(-4,0,-1) ,AC=(1,-4,-2) ,设平面 的法向量为n=(x,y,z) ,则nAB=0,nAC=0, 即-4x-z=0x-4y-2z=0,取x=4 ,可得z=-16,y=9 ,所以平面 的一个法向量为n=(4,9,-16) .2.给出下列说法：一个平面的法向量是唯一的;一个平面的所有法向量
2、都是同向的;平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的;与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其中正确的说法是 .答案：解析：一个平面的法向量有无数个,故中说法错误;一个平面的所有法向量不一定相同,故中说法错误;易知、中说法正确.3.平面 经过三点A(-1,0,1) ,B(1,1,2) ,C(2,-1,0) ,求平面 的一个法向量.答案：易知AB=(2,1,1) ,AC=(3,-1,-1) ,设平面 的法向量为n=(x,y,z) ,则nAB=2x+y+z=0,nAC=3x-y-z=0,令z=-1 ,则y=1,x=0 ,n=(0,1,-1) 平面 的一个法向量为n=(0,1,-
3、1) .素养演练直观想象、数学运算、逻辑推理在关于法向量的探索性问题中的应用已知四边形ABCD 是矩形,PA 平面ABCD,PA=AB=1,AD=2 ,点M、N 在线段PB、DC 上（不含端点）,且满足BM=MP,DN=NC ,其中0 .（1）若=1 ,求平面PBD 的一个法向量;（2）是否存在 ,使MN 是平面PAB 的法向量？请说明理由.答案：（1）建立空间直角坐标系,当=1 时,M,N 分别为PB,DC 的中点,因为A(0,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,0,0) ,D(0,2,0) ,C(1,2,0) ,所以M(12,0,12) ,N(12,2,0) ,PD=(0,2,-1)
4、,BD=(-1,2,0) ,设平面PBD 的法向量为n=(x,y,z) ,则nPD=2y-z=0,nBD=-x+2y=0,令y=1 ,则x=z=2 ,所以n=(2,1,2) ,所以平面PBD 的一个法向量为n=(2,1,2) .（2）假设存在 ,因为BM=MP ,DN=NC ,所以M(1+1,0,+1),N(+1,2,0) ,所以MN=(-1+1,2,-+1) ,易知PB=(1,0,-1),AB=(1,0,0),若MN 是平面PAB 的法向量,则MNPB=0 ,MNAB=0 ,即2-1+1=0,-1+1=0,此方程组无解,即假设不成立,所以不存在 ,使MN 是平面PAB 的法向量. 素养探究：
5、（1）由题意建立空间直角坐标系,渗透了直观想象的素养;设出平面PBD 的法向量,根据法向量的定义,建立方程组求解,渗透了数学运算的素养.（2）假设存在 ,使MN 是平面PAB 的法向量,然后根据平面法向量的定义建立方程组求解,渗透了逻辑推理、数学运算的素养.迁移应用在三棱锥S-ABC 中,底面是边长为23 的正三角形,点S 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点,侧棱SA 和底面成45 角.（1）在侧棱SA 上是否存在一点D ,使BD 是平面SAC 的法向量？请说明理由;（2）求平面ACS 的一个法向量.答案：连接OA ,由题意可知SO 底面ABC ,且OABC ,所以以O 为原点,OC
6、所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴,OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.因为ABC 是边长为23 的正三角形,且SA 与底面所成的角为45 ,所以SAO=45,SO=AO=3 ,所以O(0,0,0),C(3,0,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(-3,0,0) .（1）假设存在点D ,设AD=a ,则D(0,3-22a,22a) ,所以BD=(3,3-22a,22a) ,易知AC=(3,-3,0),AS=(0,-3,3),若BD 是平面SAC 的法向量,则BDAC=3-3(3-22a)=0,BDAS=-3(3-22a)+322a=0, ,此方程组无解,所以在侧棱SA 上
7、不存在一点D ,使BD 是平面SAC 的法向量.（2）由(1)知AS=(0,-3,3) ,AC=(3,-3,0) ,设平面ACS 的法向量为n=(x,y,z) ,则nAC=3x-3y=0,nAS=-3y+3z=0,令z=1 ,则x=3 ,y=1 ,所以n=(3,1,1) ,所以平面ACS 的一个法向量为n=(3,1,1) .课时评价作业基础达标练1.若A(-1,0,2) ,B （1,4,10）在直线l 上,则直线l 的一个方向向量为( )A.（1,2,4）B.（1,4,2）C.（2,1,4）D.（4,2,1）答案：A2.设A 是空间中一定点,n 为空间内任一非零向量,则满足条件AMn=0 的点
8、M 构成的是( )A.圆B.直线C.平面D.线段答案：C3.（2020湖南张家界高二期末）已知直线l 的一个方向向量为m=(2,-1,3) ,且直线l 过A(0,y,3) 和B(-1,2,z) 两点,则y-z= ( )A.0B.1C.32 D.3答案：A4.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,平面ACB1 的一个法向量为( )A.BD1 B.DB C.BA1 D.BA答案：A5.平面 经过三点O(0,0,0) ，A(2,2,0) ，B(0,0,2) ,则平面 的法向量可以是( )A.（1,0,1）B.（1,0,-1）C.（0,1,1）D.（-1,1,0）答案：D6.（多选题）在如图所示的空
9、间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,则下列结论正确的是( )A.直线DD1 的一个方向向量为（0,0,1）B.直线BC1 的一个方向向量为（0,-1,-1)C.平面ABB1A1 的一个法向量为（0,1,0）D.平面B1CD 的一个法向量为（1,1,1）答案：ABC7.若A(0,2,198) ，B(1,-1,58) ，C(-2,1,58) 是平面 内的三点,设平面 的法向量为a=(x,y,z) ,则x:y:z= .答案：2:3:(-4)素养提升练8.（多选题）已知空间中的三点A(0,1,0) ，B(2,2,0) ，C(-1,3,1) ,则下列说法不正确的是( )A.AC 不是直
10、线AB 的一个方向向量B.直线AB 的一个单位方向向量是(255,-55,0)C.AB 与BC 夹角的余弦值是5511D.平面ABC 的一个法向量是（1,-2,5）答案：BC解析：易知AB=(2,1,0) ，AC=(-1,2,1) ,所以不存在实数 ,使得AB=AC ,故A中说法正确;因为AB=(2,1,0) ,所以(255,-55,0) 与AB 不共线,所以B中说法错误;易知BC=(-3,1,1) ,所以cosAB,BC=ABBC|AB|BC|=-5511 ,所以C中说法错误;设平面ABC 的法向量是n=(x,y,z) ,则nAB=0,nBC=0, 即2x+y=0,-x+2y+z=0, 令x
11、=1 ,则平面ABC 的一个法向量是n=(1,-2,5) ,所以D中说法正确.9.（2020河南平顶山高二期末）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，E,F 分别在棱BB1 ，CC1 上,且B1E=2EB ，CF=2FC1 ,则下列向量中,能作为平面AEF 的法向量的是( )A.（1,-1,3）B.（1,-1,-3）C.（2,-3,6）D.（-2,3,-6）答案：A解析：设正方体的棱长为1,平面AEF 的法向量为n=(x,y,z) ,则A(1,0,0),E(1,1,13),F(0,1,23) ,所以AE=(0,1,13) ，EF=(-1,0,1
12、3) ,则nAE=0,nEF=0, 即y+13z=0,-x+13z=0, 取x=1, 则y=-1,z=3 ,故n=(1,-1,3) .10.（多选题）（2021福建泉州高二期中）已知平面 过点A(1,-1,2) ,且其法向量n=(2,-1,2) ,则下列点中不在平面 内的是( )A.（2,3,3）B.（3,-3,4）C.（-1,2,0）D.（-2,-3,4）答案：BC解析：对于A ,设Q(2,3,3) ,则AQ=(1,4,1) ,所以AQn=12+4(-1)+12=0 ,故Q 在平面 内;对于B ,设R(3,-3,4) ,则AR=(2,-2,2) ,所以ARn=22+(-2)(-1)+22=1
13、00 ,故R 不在平面 内;对于C ,设M(-1,2,0) ,则AM=(-2,3,-2) ,所以AMn=-22+3(-1)+(-2)2=-110 ,故M 不在平面 内;对于D ,设N(-2,-3,4) ,则AN=(-3,-2,2) ,所以ANn=-32+(-2)(-1)+22=-6+2+4=0 ,故N 在平面 内.11.（2021山东济宁鱼台一中高二月考）四棱柱ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形,O 为底面的中心,A1O 平面ABCD ，AB=AA1=2 ,则平面OCB1 的一个法向量为n= .答案：(1,0,-1)（答案不唯一）解析：建立空间直角坐标系如图, 四边形ABCD
14、 是正方形,且AB=2 ,AO=OC=1 ,A1O 平面ABCD ，且AO 平面ABCD,AOA1O,OA1=AA12-OA2=1,O(0,0,0),C(0,1,0),B1(1,1,1), 即OC=(0,1,0) ，OB1=(1,1,1) ，设向量n=(x,y,z) 是平面OCB1 的法向量,OCn=y=0,OB1n=x+y+z=0, 取x=1, 则z=-1,故n=(1,0,-1) .创新拓展练12.已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,如果AB=(2,-1,-4) ,AD=(4,2,0) ,AP=(-1,2,-1) .（1）写出直线BD 的一个方向向量;（2）求证：AP 是平面AB
15、CD 的法向量;（3）求平行四边形ABCD 的面积.命题分析 本题考查了直线的方向向量的求解、平面法向量的证明、平行四边形面积的求法,考查了向量坐标的运算、法向量的定义等基础知识,考查了运算求解能力、逻辑推理能力.答题要领 （1）直线BD 的一个方向向量是与BD 平行或共线的向量,可根据向量的线性运算求解.（2）由题意结合空间向量的数量积计算可得APAB=0,APAD=0 ,即可得结论.（3）利用平面向量的坐标运算可得|AB|=21,|AD|=25,ABAD=6 ,进而可得sinAB,AD, 然后利用公式SABCD=|AB|AD|sinAB,AD 求解.详细解析（1）BD=AD-AB=(4,2
16、,0)-(2,-1,-4)=(2,3,4) ,故直线BD的一个方向向量可以是（2,3,4）.（2）证明：APAB=(-1,2,-1)(2,-1,-4)=0 ,APAD=(-1,2,-1)(4,2,0)=0 ,APAB,APAD ,又ABAD=A,AB,AD 平面ABCD ,AP 平面ABCD ,AP 是平面ABCD 的法向量.（3）|AB|=22+(-1)2+(-4)2=21 ,|AD|=42+22+02=25 ,ABAD=(2,-1,-4)(4,2,0)=6 ,cosAB,AD=62125=10535 ,故sinAB,AD=3235 ,SABCD=|AB|AD|sinAB,AD=86 .解题感悟 直线的方向向量是与该直线平行或共线的向量,可根据向量线性运算和坐标运算求解;法向量的判定或证明,要根据法向量的定义判断;面积的求解,常根据图形的形状结合三角形的面积公式求解.在求解过程中,准确运算是关键.
