1、课时评价作业基础达标练1.（2021山东泰安高二期末）已知空间四边形OABC 中，取基向量OA=a,OB=b,OC=c ，点M 在线段OA 上，且OM=2MA,N 为BC 的中点，则MN 等于( )A.12a-23b+12c B.-23a+12b+12cC.12a+12b-12c D.23a+23b-12c答案：B解析：因为N 为BC 的中点，所以ON=12(OB+OC) ，因为OM=2MA ，所以OM=23OA ，所以MN=ON-OM=12(OB+OC)-23OA=-23a+12b+12c .2.（原创题）在长方体ABCD-ABCD 中，AB=2,AD=3,AA=2,O 是侧面CDDC 的中
2、心，则异面直线AO 与BD 所成角的余弦值为( )A.27 B.15 C.115 D.3535答案：D3.（2020陕西商洛商丹高新学校高二期末）在四面体OABC 中，M,N 分别是OA,BC 的中点，P 是MN 的三等分点（靠近点N ），若OA=a,OB=b,OC=c ，则OP= ( )A.13a+16b+16c B.16a+13b+13cC.12a+16b+13c D.16a+12b+13c答案：B4.（多选题）（2021山东淄博高二期末）已知空间向量i、j、k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的有( )A.向量i+j+k的模是3B.i+j,i-j,k 可以构成空间的一个基底C.向量
3、i+j+k 和k夹角的余弦值为33D.向量i+j与k-j 共线答案：BC解析：|i+j+k|2=(i+j+k)2=i2+j2+k2+2ij+2ik+2jk=3,|i+j+k|=3 ，故A中结论错误； 空间向量i、j、k 都是单位向量，且两两垂直，i+j、i-j、k 均为非零向量，(i+j)(i-j)=i2-j2=0,(i+j)k=ik+jk=0,(i-j)k=ik-jk=0 ，i+j、i-j、k 两两垂直，则i+j,i-j,k 可以构成空间的一个基底，故B中结论正确；cosi+j+k,k=(i+j+k)k|i+j+k|k|=131=33 ，故C中结论正确；(i+j)(k-j)=ik-ij+jk
4、-j2=-1 ，|i+j|=(i+j)2=i2+j2+2ij=2 ，同理可得|k-j|=2 ，cosi+j,k-j=(i+j)(k-j)|i+j|k-j|=-122=-12 ，0i+j,k-j,i+j,k-j=23 ，故D中结论错误.5.（2021河南平顶山高二期末）在棱长为1的正四面体ABCD 中，点E,F 分别是线段BC,AD 上的点，且满足BE=13BC,AF=14AD ，则AECF= ( )A.-1324 B.-12 C.12 D.1324答案：A6.（多选题）（原创题）如图，正方体ABCD-ABCD 的棱长为1，点E 是上底面ABCD 的中心，点O 是下底面ABCD 的中心，H 是D
5、D 的中点，则下列结论正确的有( )A.AEBD B.OHBDC.AEBD D.OHBD答案：AD7.（多选题）已知A,B,C,D,E 是空间中的五点，且任意三点均不共线.若AB,AC,AD 与AB,AC,AE 均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有( )A.AB,AD,AE 不能构成空间的一个基底B.AC,AD,AE 能构成空间的一个基底C.BC,CD,DE 不能构成空间的一个基底D.AB,CD,EA 能构成空间的一个基底答案：AC8.如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于点O ，点G 为BD 上一点，BG=2GD,PA=a,PB=b,PC=
6、c, 用a,b,c 表示向量PG= .答案：23a-13b+23c素养提升练9.（多选题）（2021辽宁大连瓦房店中学高二月考）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60 ，则下列说法中正确的有( )A.(AA1+AB+AD)2=2AC2B.AC1(AB-AD)=0C.向量B1C 与AA1 的夹角是60D.BD1 与AC 所成角的余弦值为63答案：AB解析：因为以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60 ，所以可设该棱长为1，则AA1AB=AA1AD=ADAB=11cos60=12 ，易知(AA1+AB+AD)2
7、=AA12+AB2+AD2+2AA1AB+2ABAD+2AA1AD=1+1+1+3212=6 ，且2AC2=2(AB+AD)2=2(AB2+AD2+2ABAD)=2(1+1+212)=23=6 ，所以A中说法正确；易知AC1(AB-AD)=(AA1+AB+AD)(AB-AD)=AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD2=0 ，所以B中说法正确；易知B1C=A1D,AA1D 为等边三角形，所以AA1D=60 ，故向量A1D 与AA1 的夹角是120 ，所以向量B1C 与AA1 的夹角是120, 所以C中说法不正确；易知BD1=AD+AA1-AB,AC=AB+AD ，所以|BD1|
8、=(AD+AA1-AB)2=2,|AC|=(AB+AD)2=3,BD1AC=(AD+AA1-AB)(AB+AD)=1 ，所以cosBD1,AC=BD1AC|BD1|AC|=123=66 ，所以D中说法不正确.故选AB.10.（2021北京平谷第五中学高二月考）在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=2,AA1=22 ，D 为棱A1B1 的中点，则异面直线AD 与CB1 所成角的大小为 .答案：6解析：如图，取空间的一个基底AB,AC,AA1 ，则AD=AA1+A1D=AA1+12A1B1=AA1+12AB,CB1=CA+AB+BB1=AA1-AC+AB ， 该三棱柱的侧棱和底面垂直，AA1A
9、B=0,AA1AC=0 ，又AB=AC=BC=2,AA1=22 ，ADCB1=(AA1+12AB)(AA1-AC+AB)=AA12-12ABAC+12AB2=8-122212+124=9 ，AD=8+1=3,CB1=8+4=23 ，cosAD,CB1=9323=32,AD,CB10,AD,CB1=6, 异面直线AD 与CB1 所成角的大小为6 .11.已知e1,e2,e3 为空间的一个基底，若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3 ，且d=a+b+c,则，分别为 .答案：52,-1,-12解析：由题意得a、b、c为三个不共面的向量， 由空间向
10、量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组(,) ，使得d=a+b+c 成立，d=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3 .d=e1+2e2+3e3 ，+=1,+-=2，-+=3， =52,=-1,=-12.创新拓展练12.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,G 分别是棱CC1,BC,CD 的中点，求证：A1G 平面DEF .命题分析 本题主要考查了线面垂直的判定定理，向量数量积的运算，向量垂直的应用.答题要领 设AB=i,AD=j,AA1=k ，则i,j,k 构成空间的一个基底，利用向量的数量积等于零，把A1G,DF,DE 用单位正交基底表示，由向量数量积的运算以及线面垂直的判定定理，即可证出A1G 平面DEF .详细解析 证明 设AB=i,AD=j,AA1=k, 则i,j,k 为空间的一个基底，A1GDF=(AA1+AD+DG)(DC+CF)=(-k+j+12i)(i-12j)=(-k)i+12kj+ij-12j2+12i2-14ij=0 ，A1GDF ，同理可得A1GDE ，又DFDE=D,DF,DE 平面DEF ，A1G 平面DEF .解题感悟在用线面垂直的判定定理证明时，必须说明两条直线相交.证明线面垂直时，可先利用向量数量积的运算证明线线垂直.
