1、4.2 指数函数4.2.1 指数函数的概念课标解读课标要求素养要求1.通过具体实例了解指数函数的实际意义.2.理解指数函数的概念.1.数学抽象通过实例了解指数函数的概念.2.数学建模能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 指数函数的概念一般地，函数y=ax(a0，且a1) 叫做 指数函数 ，其中 指数x 是自变量，定义域是 R .要点二 指数型函数模型在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长y ，则y= N(1+p)x(xN) .形如y=kax(kR ，且k0;a0 ，且a1) 的函数是刻
2、画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的模型自主思考1.某口罩厂2020年1月份平均日产量为20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个.则口罩厂日产量的月平均增长率是 .答案：50%解析：提示设口罩厂日产量的月平均增长率是x，依题意得20(1+x)2=45 ，解得x1=0.5=50% ，x2=-2.5 （不符合题意，舍去），则口罩厂日产量的月平均增长率是50% .名师点睛规定a0，且a1的理由（1）如果a=0 ，那么当x0 时，ax 恒等于0；当x0 时，ax 无意义.（2）如果a0, 如y=(-2)x ，那么对于x=12,14, 其函数值
3、不存在.（3）如果a=1 ，那么y=1x 是一个常量，无研究价值.为了避免上述各种情况的发生，所以规定a0 且a1 .互动探究关键能力探究点一 指数函数的概念精讲精练例（1）下列各函数中，是指数函数的为( )A.y=x3B.y=(-4)xC.y=5x+1D.y=52x（2）若函数y=(2a-1)x （x 是自变量）是指数函数，则a 的取值范围是( )A.(0,1)(1,+)B.0,1)(1,+)C.(12,1)(1,+)D.12,+)答案：（1）D（2）C解析：（1）A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；B 中，自变量出现在指数上，但-40，不满足“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数
4、函数；C 中，指数是x+1 ，故不是指数函数；D 中，y=52x=25x ，符合指数函数的定义，故是指数函数故选D.（2）依题意得2a-10 ，且2a-11 ，解得a12, 且a1 ，故选C.解题感悟指数函数的解析式必须具有三个特征：（1）底数a 为大于0且不等于1的常数；（2）指数位置是自变量x ，且指数位置上只有x这一项；（3）指数式只有一项，且ax 的系数是1.迁移应用1.下列是指数函数的是( )A.y=-3x B.y=2x2-1C.y=ax D.y=x答案：D2.若函数y=(a2-3a+3)ax 是指数函数，求a 的值.答案：由指数函数的概念知，a2-3a+3=1,a0,且a1, 解得
5、a=2 .探究点二 求指数函数的解析式或函数值精讲精练 例 （2020湖南临澧第一中学高一期中）指数函数f(x) 的图象过点(-2，4），则f(2)= .答案： 14解析： 设f(x)=ax(a0, 且a1) ，因为f(x) 的图象过点(-2,4)，所以a-2=4, 解得a=12, 即f(x)=(12)x, 所以f(2)=14 .解题感悟求指数函数的解析式或函数值的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件，主要采用待定系数法求底数a.迁移应用1.如果指数函数y=f(x) 的图象经过点(-2,14) ，那么f(4)f(2)= ( )A.8B.16C.32D.64答案： D解析：设f(x)=ax(a
6、0, 且a1) ，结合题意可得a-2=14 ，解得a=2 ，故函数的解析式为f(x)=2x ，所以f(4)f(2)=2422=64 ，故选D.探究点三 指数型函数模型的应用精讲精练 例 某地区2012年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1% ，要使2023年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少 万平方米（精确到1万平方米，参考数据：1.0191.0937,1.01101.1046,1.01111.1157 ）.答案： 83解析： 设平均每年新增住房面积x 万平方米，则5006+11x500(1+1%)117 ，解得x35
7、001.0111-30001182.27 ，即平均每年新增住房面积至少83万平方米.解题感悟在解决指数型函数模型的应用问题的过程中，大多需要根据条件列出方程，进而求解.迁移应用1.某城市房价（均价）经过6年时间从1200元/m2 增加到了4800元/m2 ，则这6年间平均每年的增长率是( )A.32-1100% B.32+1100%C.50% D.60%答案：A解析：设这6年间平均每年的增长率为x ，则1200(1+x)6=4800 ，解得x=64-1=32-1 .2.已知某种产品的生产成本每年降低25% .若该产品2015年年底的生产成本为6400元/件，则2018年年底的生产成本为 元/件
8、.答案： 2700解析： 由题意得，2018年年底的生产成本为6400(1-25%)3=6400(34)3=2700 （元/件）.评价检测素养提升1.下列函数中一定是指数函数的是( )A.y=2x+1 B.y=x4 C.y=32x D.y=3-x答案：D2.若指数函数f(x) 的图象过点(3,8)，则f(x) 的解析式为( )A.f(x)=x3 B.f(x)=2xC.f(x)=(12)x D.f(x)=x13答案：B3.若函数f(x)=(12a-3)ax 是指数函数，则f(12) 的值为 .答案： 22解析： 函数f(x)=(12a-3)ax 是指数函数，12a-3=1,a0,a1, 解得a=8,f(x)=8x,f(12)=8=22 .4.某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的50万吨，若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为 万吨（结果保留整数）.答案：63解析：设年增长率为x，根据题意得40(1+x)10=50 ，解得(1+x)10=54 .若按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量约为40(1+x)20=40(54)2=62.563 （万吨）.
