1、波峰中学 2016-2017 学年度第一学期期末模拟卷（二）高三数学试题命题人：张彦东审题人:高三数学组2016.12.一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1设集合 A=x|y=lg（x1），集合2|2By yx，则 AB 等于A（1，2 B（1，2）C1，2）D1，22.已知 a(4,2)，b(x,3)，且 ab，则 x 等于()A9B6 C5D33若实数 a，b 满足 ab2，则 3a3b的最小值是()A18B6 C2 3D3 34.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，C
2、D1 的中点，则下列说法错误的是()AMN 与 CC1 垂直BMN 与 AC 垂直CMN 与 BD 平行DMN 与 A1B1 平行5.数列(1)n(2n1)的前 2 016 项和 S2 016 等于()A2 016 B2 016C2 015 D2 0156.若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是()来源:学|科|网A.245B.285 C5 D67.设偶 函 数 fx 的 定 义 域 为 R，当0,x 时，fx 是 增 函 数，则 2,3fff的大小关系是A.23fff B.23fff C.23fff D.32fff 8.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所
3、示，则这个几何体的体积为()A4 B2 2 C.203D89.已知向量 a(cos，sin)，向量 b(3，1)，则|2ab|的最大值，最小值分别是()A4 2，0B4,4 2C16,0D4,010.已知 P 是ABC 所在平面内一点，20PBPCPA，现将一粒红豆随机撒在ABC内，则红豆落在PBC 内的概率是 A 14 B 13 C 12 D 23 11.九章算术是我国古代著名数学经典。其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，
4、锯道长一尺。问这块圆柱形木料的直径是多少？长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）。已知弦 AB=1 尺，弓形高 CD=1 寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）（注：1 丈=10 尺=100 寸，3.14，5sin 22.513）A600 立方寸 B610 立方寸 C633 立方寸 D 620 立方寸 12.已知椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为12,0,0FcFc、，过点2F 且斜率为 2ba的直线l 交直线 20bxay于 M，若 M 在以线段12F F 为直径的圆上，则椭圆的离心率为（）A 13 B23 C33 D 12 第卷
5、(非选择题，共 90 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.二项式(1)nx（nN）的展开式中4x 的系数为 15，则 n_14.当实数 x，y 满足不等式组x0，y0，2xy2时，恒有 axy3 成立，则实数 a的取值范围是_15.已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_16.已知数列an满足 a10，a21，an23an12an，则an的前 n 项和 Sn_.三、解答题（17 题 10 分，其它各题均为 12 分，共计 70 分）17.(本小题满分 12 分)已
6、知函数xxxxf2cos2cossin32)(.（1）求)24(f的值；（2）若函数)(xf在区间,mm上是单调递增函数，求实数 m 的最大值.18已知等差数列 na满足：47a，1019a，其前n 项和为nS.(1）求数列 na的通项公式na 及nS；(2）若等比数列 nb的前n 项和为nT，且12b，44bS，求nT.19.如图1，在直角梯形 ABCD 中，122ADBCBADABBCAD，E 是 AD 的中点，O是 AC 与 BE 的交点将 ABE沿 BE 折起到图 2 中1A BE的位置，得到四棱锥1ABCDE.()证明：CD 平面1AOC；()若平面1A BE 平面 BCDE，求平面
7、1A BC 与平面1ACD 夹角（锐角）的余弦值 20.（本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通指数为T，其范围为0,10，分为五个级别，T 0,2)畅通；T 2,4)基本畅通；T 4,6)轻度拥堵；T 6,8)中度拥堵；T 8,10严重拥堵.早高峰时段(3T )，从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的 50 个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如右图（）这 50 个路段为中度拥堵的有多少个？（）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为
8、 30 分钟，轻度拥堵为 36 分钟；中度拥堵为 42 分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望21、已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2,0,2,0，并且经过点230,26.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为 k 的直线 l 经过点 0,2，且与椭圆交于不同的两点,A B,求 OAB面积的最大值.来源:学&科&网 22、设函数 2ln1f xxxax，其中0.a （1）若6a ，求 f x 在0,3 上的最值；（2）若 f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）当1a 时，令 3g xxxf x，试证：311ln nnnNnn 恒成立.高三数学第一学期
9、期末模拟卷（二）参考答案1.答案 A2.解析：ab，432x0，解得 x6，故选 B.答案：B3.解析：法一：3a3b2 3a3b23ab6.当且仅当 ab1 时取等号，故 3a3b 的最小值是 6.法二：由 ab2，得 b2a，3a3b3a32a3a 93a23a 93a6.当且仅当 3a 93a，即 a1 时等号成立答案：B4 答案 D解析 连接 C1D，BD.N 是 D1C 的中点，N 是 C1D 的中点，MNBD.又CC1BD，CC1MN，故 A，C 正确ACBD，MNBD，MNAC，故 B 正确，故选 D.5.答案 B解析 S2 0161357(22 0151)(22 0161)2
10、016.故选 B.6.答案 C解析 x3y5xy，15y 35x1.3x4y(3x4y)1(3x4y)(15y 35x)3x5y954512y5x 135 23x5y12y5x 5，当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时等号成立7.答案：A8.答案 D解析 由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD3，BF1，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为 4 的长方体，所以该几何体的体积为122248.9.解析：|2ab|24a24abb284(3cossin)88cos(6)，易知 088cos(6)16，|2ab|的最大值和最小值分别为 4 和 0.答案：D
11、10.选 B.11.答案 C12.答案 D 13.答案 614.答案(，3解析 画出可行域，如图中阴影部分所示要使 axy3 恒成立，即可行域必须在直线 axy30 的下方，故分三种情况进行讨论：当 a0 且3a1，即 0a3 时，恒有 axy3 成立；当 a0 时，y3 成立；当 a0 时，恒有 axy3 成立综上可知，a3.15.答案 33解析 正三棱锥 PABC 可看作由正方体 PADCBEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥 PABC 的外接球的直径，且 PF平面 ABC.设正方体棱长为 a，则 3a212，a2，ABACBC2 2.SABC122 22 2 32 2 3.由 VPAB
12、CVBPAC，得13hSABC1312222，所以 h2 33，因此球心到平面 ABC 的距离为 3316.答案 2nn1解析 由 an23an12an，得 an2an12(an1an)，a2a11，数列an1an为等比数列，an1an(a2a1)2n12n1，即 a2a11，a3a22，anan12n2.再由累加法得 ana112222n22n11，an2n11，Sn12n121n2nn1.三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分 17.【答案】解：（1）()3sin 2cos21f xxx 312(sin 2cos2)122xx2sin(2)16x()2sin()12sin121241
13、264f （2）由 222,262kxkkZ 得,36kxkkZ ()f x 在区间,()36kkkZ 上是增函数 630mmm，解得 06m m 的最大值是6 18解:(1）设等差数列 na的公差为d，则1997311dada，解得：211da，12 nan，2nSn (2）设等比数列 nb的公比为q，21 b，44Sb，1623 q，2q，221 nnT 19解：()在图1中，ADBC，1ABBC，1AE ，2BAD，所以 BEAC，即在图 2 中，1,BEAO BEOC 又1AOOCO，所以 BE 平面1AOC，又CDBE，所以CD 平面1AOC.()由已知，平面1A BE 平面 BCD
14、E，又由()知，1,BEAO BEOC，所以1AOC为二面角1-CA BE的平面角，所以12AOC.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A BA EBCED，BCED，所以1222(,0,0)(,0,0)(0,0,)222BEA，2(0,0),2C22(,0),22BC 122(0,)22AC，(2,0,0)CDBE.设平面1A BC 的法向量1111(,)nx y z，平面1ACD 的法向量2222(,)nxyz，平面1A BC 与平面1ACD 夹角为，由11100nBCnAC，得111100 xyyz，取1(1,1,1)n，由22100nCDnAC，得22200 xyz，取2
15、(0,1,1)n，从而1226cos|cos,|332n n ，即平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值为63.20、（）这 50 路段为中度拥堵的有 18 个4 分（）设事件 A“一个路段严重拥堵”，则事件 B 至少一个路段严重拥堵”，则所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是8 分（III）分布列如下表：30 36 42 60 0.1 0.44 0.36 0.1 此人经过该路段所用时间的数学期望是分钟12 分 21、解 （1）设椭圆的标准方程为222210 xyabab，有椭圆的定义可得 22222302302222 3.2626a 3,a又2,1,cb 来源:Z#xx#k.Com
16、故椭圆的标准方程为221.3xy4 分.（2）设直线l 的方程为2ykx，由221,32xyykx 得221 31290kxkx，依题意236360k，21k 6 分 设1122,A x yB xy，则121222129,1 31 3kxxx xkk，7 分 22212261111 3kABkxxkk，8 分 由点到直线的距离公式得221dk，9 分 2222221612611.21 31 31kkSkkkk10 分 设22210,1,kt tkt 则 221366643421 313OABttStttt，当且仅当2 33t 时，上式取等号，所以，OAB面积的最大值为3.212 分 22、解 （1）由题意知，f x 的定义域为1,，6a 时，由 26235210,11xxfxxxx 得512xx 舍去 2 分 当0,1x时，0,1,30fxxfx当时，0,1x当，f x 单调递减，当1,3x时，f x 单调递增.波峰中学 2016-2017 学年度第一学期期末模拟卷（二）高三数学试题试题答题纸一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题：13.14.15.16.学校 姓名 班级 考场 考号 密 封 线 内 不 要 答 题 线 三、解答题：17.18.19.来源:学科网 ZXXK 20.21.来源:Zxxk.Com 22.
