1、一分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则不同的选法种数为()A.3B.6C.9D.12【解析】选C.甲运动员有3种选法,乙运动员也有3种选法,由分步乘法计数原理知,不同的选法种数为33=9.2.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游,从广州到深圳一天中动车组有30个班次,特快列车有20个班次,汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有()A.240种B.180种C.120种D.90种【解析】选D.根据分类加法计数原理,得方法种数为30+20+40=90(
2、种).3.将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使每一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可使用,则不同染色的方法种数为()A.80B.100C.110D.120【解析】选D.如图,若先染A有5种色可选,B有4种色可选,C有3种色可选,D有2种色可选,则不同染色方法共有5432=120(种).4.某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有_种不同的选法()A.10B.20C.21D.40【解析】选B.“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”,故需分三类:既会英语又会日语的不当选;既会英语又会日语的按会英语当选;既会英语又会
3、日语的按会日语当选.既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.先分类后分步,从仅会英、日语的人中各选1人有62种选法; 从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有61种选法;仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有21种选法.根据分类加法计数原理,共有62+61+21=20(种)不同选法.【加练固】现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学,其中A,B两所希望小学每个学校至少2台,其他小学允许1台也没有,则不同的分配方案共有()A.13种B.15种C.20种D.30种【解析】选B.先给A、B两所希望小学分配电脑,若每个学校2台,由于电脑型号相同,故只有1种情况,其
4、次将剩余的2台电脑分给其他3所小学,若一所小学2台,其他的没有,有3种情况;若2所小学各1台,另一所小学没有,有3种情况,共有6种情况;若A、B两所希望小学其中一所得3台,另一所2台,有2种情况,再将剩余的1台电脑分给其他3所小学,有3种情况,共32=6种情况;若给A、B两所希望小学各分配3台电脑,有1种情况;若A、B两所希望小学其中一所得4台,另一所2台,有2种情况.综上,共6+6+1+2=15种情况.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020上海高二检测)已知A=-3,-2,-1,0,1,2,3,a、bA,则|a|n的数对有多少个?【解析】(1)因为集合A=2,4,6,8,10,B=
5、1,3,5,7,9,在A中任取一元素m和在B中任取一元素n,组成数对(m,n),先选出m有5种结果,再选出n有5种结果,根据分步乘法计数原理知共有55=25个不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中所取两数mn的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3有2种结果;当m=6时,n=1,3,5有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9有5种结果.综上所述共有1+2+3+4+5=15种结果.(15分钟30分)1.(5分)某地政府召集5家企业的负责人召开扶贫会议,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人
6、发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A.14B.16C.20D.48【解析】选B.按题意分成两类:第一类:甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人出自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理知有N1=26=12(种)情况;第二类:3人全来自其余4家企业,有N2=4(种)情况.综上可知,共有N=N1+N2=12+4=16(种).2.(5分)(2020长沙高二检测)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车
7、,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是()A.4B.12C.16D.24【解析】选B.15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4种.第二步安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计1+2=3种.根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数共有43=12.3.(5分)如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有_个.【解析】满足条件的有两类:第一类:与正八边形有两条公共边的三角形有m
8、1=8(个);第二类:与正八边形有一条公共边的三角形有m2=84=32(个),所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).答案:404.(5分)(2020杭州高二检测)已知集合P=1,2,3,4,5,若A,B是P的两个非空子集,则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A,B)的个数为_.【解析】根据题意,分4种情况讨论:当A中的最大数为1,即A=1时,B=2,3,4,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5,2,3,4,5,即2,3,4,5的非空子集的个数为24-1=15个;当A中的最大数为2,即A=2,或1,2时,B=3,4
9、,5,3,4,3,5,4,5,3,4,5,即2(23-1)=14个;当A中的最大数为3,即A=3,或1,3,或2,3,或1,2,3时,B=4,5,4,5,即43=12个;当A中的最大数为4,即A=4,或1,4,或2,4,或3,4,或1,2,4,或1,3,4,或2,3,4,或1,2,3,4时,B=5,即23=8个;所以总个数为15+14+12+8=49.答案:495.(10分)用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列an.(1)写出这个数列的前11项.(2)这个数列共有多少项?(3)若an=341,求n.【解析】(1)111,112,113,114,121
10、,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每个数位上都有4种排法,则共有444=64项.(3)比an=341小的数有两类:12;313233共有244+134=44项.所以n=44+1=45(项).1.几只猴子在一棵枯树上玩耍,它们均不慎失足下落.已知(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C.(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F.(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C.(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H.(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E.则这9根树枝从高到低不同的次序有()A.
11、23种B.24种C.32种D.33种【解题指南】先判断出G,A,B按顺序排在前四个位置中的三个位置,CEF,DEF,且E,F一定排在后四个位置,然后分I排在前四个位置中的一个位置与I不排在前四个位置中的一个位置两种情况讨论,利用分类加法计数原理可得结果.【解析】选D.不妨设A,B,C,D,E,F,G,H,I代表树枝的高度,9根树枝从上至下共九个位置,根据甲依次撞击到树枝A,B,C;乙依次撞击到树枝D,E,F;丙依次撞击到树枝G,A,C;丁依次撞击到树枝B,D,H;戊依次撞击到树枝I,C,E可得GAB,且在前四个位置,CEF,DEF,且E,F一定排在后四个位置,(1)若I排在前四个位置中的一个位
12、置,前四个位置有4种排法,若第五个位置排C,则第六个位置一定排D,后三个位置共有3种排法,若第五个位置排D,则后四个位置共有4种排法,所以I排在前四个位置中的一个位置时,共有4(3+4)=28种排法.(2)若I不排在前四个位置中的一个位置,则G,A,B,D按顺序排在前四个位置,由于ICEF,所以后五个位置的排法就是H的不同排法,共5种排法,即若I不排在前四个位置中的一个位置共有5种排法,由分类加法计数原理可得,这9根树枝从高到低不同的次序有28+5=33种.2.用n种不同的颜色为两块广告牌着色,如图,要求在,四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.(1)若n=6,为甲着色时共有多少种
13、不同的方法?(2)若为乙着色时共有120种不同的方法,求n的值.【解析】完成着色这件事,共分为四个步骤,可以依次考虑为,这四个区域着色时各自的方法数,再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数.(1)为区域着色时有6种方法,为区域着色时有5种方法,为区域着色时有4种方法,为区域着色时有4种方法,依据分步乘法计数原理,不同的着色方法有6544=480(种).(2)由题意知,为区域着色时有n种方法,为区域着色时有(n-1)种方法,为区域着色时有(n-2)种方法,为区域着色时有(n-3)种方法,由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n-1)(n-2)(n-3).所以n(n-1)(n-2)(n-3)=120,所以(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0,即(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0.所以n2-3n-10=0或n2-3n+12=0(舍去).所以n=5.
