1、2020-2021学年河北省沧衡八校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1下列几何体中，面的个数最少的是（）A四面体B四棱锥C四棱柱D四棱台2已知复数z满足z（i+1）i20211，则复数z的虚部为（）A1B1CiDi3已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若mn，n，则m4在ABC中，AB4，AC6，A为钝角，则BC的取值范围是（）ABC（2，10）D5如图，一个水平放置的平面图形的直观图ABCD为矩形，其中AD2AB2，则原平面图形的周长为（）AB8C14D6九章算术中，将
2、底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马若阳马以如图所示的正六棱柱的顶点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（）A16B24C12D47已知ABC是边长为2的正三角形，点M为ABC所在平面内的一点，且，则AM长度的最小值为（）ABCD8如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，A1B1，BB1，的中点，过E，F，G三点的平而截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为（）A4BCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0
3、分.9下列情况中，适合用抽样调查的是（）A调查某村去年新生婴儿的数量B调查某地区一年内的空气质量状况C调查一条河流的水质D调查一个班级学生每天的睡眠时间10如图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是（）AEBAGBBH平面EDGCDH平面EDGD平面ACH平面EBG11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c下列各组条件中使得ABC恰有一个解的是（）A，b4，B，b4，C，b4，D，b4，12在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线a和b分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为，且，当BC1与b所成角为60时，则a与侧面BCC1B1所成
4、角的正切值可能为（）A2B3CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13已知非零向量，满足，则与的夹角为 14写出一个虚数z，使z2的实部为3，则z 15我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC，若ABC的边长为，且，则DEF的面积为 16已知一球体刚好和圆台的上、下底面侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应与出必要的艾子说明，证明过程或演算步骤.172021年是中国共产党成立
5、100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人为了解全校学生问卷测试成绒的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本（1）若在各层中按比例分配样本，试问在各年级中应分别抽取多少人？（2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分18已知复数，且（1）求复数z及|z|；（2）若复数（z+m）2（mR）在复平面内对应的点在
6、第四象限，求m的取值范围19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）若a+c2b，求A20如图，四边形ABCD是矩形，ED平面ABCD，FB平面ABCD，BC3，DECD2FB2（1）证明：平面AED平面BCF（2）求三棱锥BCEF的体积21如图，在ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F（1）用向量，表示（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由22如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，ACAD，CBD2CBD90（1）证明：BC平面ABD（2）在侧面ACD内求作一点H，使得BH平面A
7、CD，写出作法（无需证明），并求线段AH的长参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1下列几何体中，面的个数最少的是（）A四面体B四棱锥C四棱柱D四棱台解：四面体有4个面，四棱锥有5个面，四棱柱和四棱台有6个面故选：A2已知复数z满足z（i+1）i20211，则复数z的虚部为（）A1B1CiDi解：i2021i2020i（i4）505ii，z的虚部为1故选：A3已知m，n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若mn，n，则m解：若mn，n，不一定m，可能m，故A错误；若m，n，由线面垂直的定义可得mn，故B错
8、误，C正确；若mn，n，可得m或m，故D错误故选：C4在ABC中，AB4，AC6，A为钝角，则BC的取值范围是（）ABC（2，10）D解：由于A为钝角，所以cosA0，根据余弦定理的应用：，所以：42+62BC20，解得，利用三角形的三边长的关系式：BC4+610，故故选：A5如图，一个水平放置的平面图形的直观图ABCD为矩形，其中AD2AB2，则原平面图形的周长为（）AB8C14D解：把直观图还原出原平面图形，如图所示；这个原平面图形为邻边分别为6，l的平行四边形，它的周长为6+6+1+114故选：C6九章算术中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马若阳马以如图所示的正六棱柱的顶
9、点为顶点，以正六棱柱的侧棱为垂直于四棱锥底面的侧棱，则阳马的个数为（）A16B24C12D4解：根据正六边形的性质，以正六棱柱下底面的顶点为顶点的内接矩形共3个，而每个矩形可以形成4个不同的阳马，所以阳马的个数是12同理，以上底面中的矩形为底面的情况下也有12个阳马，因此共有24个不同的阳马故选：B7已知ABC是边长为2的正三角形，点M为ABC所在平面内的一点，且，则AM长度的最小值为（）ABCD解：如图，以BC的中点O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系xOy，即，B（1，0），C（1，0），则，设M（x，y），则，所以设，解得，则，当且仅当t22时取得等号所以AM长度的
10、最小值为故选：B8如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为A1D1，A1B1，BB1，的中点，过E，F，G三点的平而截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面面积为（）A4BCD解：如图示：可知过E，F，G三点的平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得的截面为正六边形EFGHIK，且该正六边形的棱长为，所以该正六边形的面积为，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列情况中，适合用抽样调查的是（）A调查某村去年新生婴儿的数量B调查某地区一年内的空气质
11、量状况C调查一条河流的水质D调查一个班级学生每天的睡眠时间解：A，D适合用全面调查，因为调查对象较少；B，C适合用抽样调查，因为调查对象较多故选：BC10如图是一个正方体的平面展开图，下列关于原正方体的判断正确的是（）AEBAGBBH平面EDGCDH平面EDGD平面ACH平面EBG解：由正方体的平面展开图可得，该正方体的直观图如图所示，因为EB，AF分别为正方形ABFE的对角线，所以EBAF，又AD平面ABFE，且EB平面ABFE，所以EBAD，又ADAFA，AD，AF平面ADGF，则EB平面ADGF，又AG平面ADGF，所以EBAG，故选项A正确；由选项A可知，同理可得ED平面ABGH，又B
12、H平面ABGH，所以EDBH，同理可得EGBH，又EDEGE，ED，EG平面EDG，所以BH平面EDG，故选项B正确；因为DH平面EFGH，而平面EFGH与EDG相交于直线EG，所以DH不可能垂直平面EDG，故选项C错误；由ACEG，且AC平面EBG，EG平面EBG，则AC平面EBG，同理可证AH平面EBG，又ACAHA，AC，AH平面ACH，故平面ACH平面EBG，故选项D正确故选：ABD11在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c下列各组条件中使得ABC恰有一个解的是（）A，b4，B，b4，C，b4，D，b4，解：对于选项A，ab且A，ABC无解，A错；对于选项B，bsinAa，
13、可知ABC为直角三角形，ABC恰有一解，B对；对于选项C，bsinA2ab，ABC有两解，C错；对于选项D，ab且A，ABC恰有一个解故选：BD12在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线a和b分别在上底面A1B1C1D1和下底面ABCD上运动，a与b的夹角为，且，当BC1与b所成角为60时，则a与侧面BCC1B1所成角的正切值可能为（）A2B3CD解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，BDBC1C1D，则直线BD与BC1所成的角为60，又BC1与b所成角为60，所以bBD或bAC，当bBD时，过点C作直线CE与BD交于点O，直线CE与BD的夹角的正弦值为，则aCE，此时COD或BOC，
14、a与侧面BCC1B1所成角为ECB，因为，则tan3，当COD时，tanECBtan（）；当BOC时，tanECBtan（）tan，当bAC时，同理可得a与侧面BCC1B1所成角的正切值可能为或2故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13已知非零向量，满足，则与的夹角为 解：设与的夹角为，由，可得，所以，则故答案为：14写出一个虚数z，使z2的实部为3，则z2i解：设za+bi，a，bR，则z2a2b2+2abi，只需满足a2b23，且b0，令a2，b1，故z2i故答案为：2i15我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人
15、称其为“赵爽弦图”类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边ABC，若ABC的边长为，且，则DEF的面积为 解：因为，所以CFAD2AF，设AFa，则CF2a，在ACF中，由余弦定理可得，解得a1，所以故答案为：16已知一球体刚好和圆台的上、下底面侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该球体的表面积为 8解：如图，在截面梯形ABDC中，CD2ED4，AB2BF2，EF2OE2OM2r，SABDC，（4+2）2r4r+2BDr+2r，解得BD3又BD2（2r）2+（DEBF）2，r22，则该球体的表面积为4r28故答案为：8四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应与
16、出必要的艾子说明，证明过程或演算步骤.172021年是中国共产党成立100周年，1921年中国共产党的诞生掀开了中国历史的新篇章，百年来，党带领全国人民谱写了中华民族自强不息、顽强奋进的壮丽史诗某校在全校开展党史学习教育活动暨问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人为了解全校学生问卷测试成绒的情况，按年级进行分层随机抽样得到容量为100的样本（1）若在各层中按比例分配样本，试问在各年级中应分别抽取多少人？（2）如果高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，求该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分解：（1）该校共有学生1
17、200+960+8403000人，高一年级应抽取人，高二年级应抽取人，高三年级应抽取人（2）全体学生问卷测试成绩的平均分为分18已知复数，且（1）求复数z及|z|；（2）若复数（z+m）2（mR）在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围解：（1）因为，且，所以，解得或（舍去），所以复数，（2），因为复数（z+m）2在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得：，即m的取值范围是（，）19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求B；（2）若a+c2b，求A解：（1）由化简可得asinA+csinCbsinBasinC，再由正弦定理得a2+c2b2ac，所以，又因为B（0，），
18、所以；（2）因为a+c2b，所以sinA+sinC2sinB，从而，可得，所以，又因为，所以20如图，四边形ABCD是矩形，ED平面ABCD，FB平面ABCD，BC3，DECD2FB2（1）证明：平面AED平面BCF（2）求三棱锥BCEF的体积【解答】（1）证明：ED平面ABCD，FB平面ABCD，BFDE又DE平面ADEBF平面ADE，BF平面ADE在矩形ABCD中，BCAD，且AD平面ADE，BC平面ADE，BC平面ADE又BCBFB，平面AED平面BCF；（2）解：FB平面ABCD，CD平面ABCD，FBCD在矩形ABCD中，BCCD又FBBCB，CD平面FBC由已知可得ED平面BCF，
19、点E到平面BCF的距离为CD，VBCEFVEBCF121如图，在ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F（1）用向量，表示（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：（l）；（2）设，则，因为，所以，即，故为定值22如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，ACAD，CBD2CBD90（1）证明：BC平面ABD（2）在侧面ACD内求作一点H，使得BH平面ACD，写出作法（无需证明），并求线段AH的长【解答】（1）证明：因为CBD90，所以BCBD，又因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，所以BD平面ABC，所以BDAB在BCD中，CBD2CDB90，所以BCBD2，可得AC2AD2BC2+AB2，则ABBC又因为ABBDB，所以BC平面ABD（2）解：作法：如图，取CD的中点E，连接AE，过B作BHAE，垂足H即要求作的点，因为ABBD，ABBC，BCBDB，所以AB平面BCD，连接BE，则ABBE因为BDBC，BCBD，所以，则由等面积法可得，故
