1、高三理科数学立体几何解答题1、如图，在中，点在上，且，平面，求证：平面；求二面角的余弦值（1）证明：因为，2分.4分。.6分（2）解：过作则.8分.12分2、如图，在棱长为的正方体中，、分别为和的中点求证：平面；求异面直线与所成的角的余弦值；在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D(0，0，0)、A(2，0，0)、B(2，2，0)、C(0，2，0)、B1(2，2，2)、D1(0，0，2)、E(1，0，2 )、F(0，2，1)(1)取AD1中点G，则G（1，
2、0，1），=（1，-2，1），又=（-1，2，-1），由=，与共线从而，CG平面ACD1，EF平面ACD1，EF平面ACD1. 4分(2) =(0,2，0)，cos=，异面直线EF与AB所成角的余弦值为.8分(3)假设满足条件的点P存在，可设点P(2，2，t)(0t2)，平面ACP的一个法向量为=(x，y，z)， 则 =(0，2，t), =(-2，2，0)， 取.易知平面ABC的一个法向量，依题意知，=30或=150，|cos|=，即，解得在棱BB1上存在一点P，当BP的长为时，二面角P-AC-B的大小为3013分3、如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面求证：平面；若，求二
3、面角的余弦值(1) 证明：，同理由，可证得又， (2)解：如图，分别以射线，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系由(1)知，又， 故矩形为正方形， 设平面的一个法向量为，则，即，取，得，为平面的一个法向量所以 设二面角的平面角为，由图知，则二面角的余弦值是4、如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，求异面直线与所成角的大小；若二面角的平面角的余弦值为，求的长解：(1) 延长AD，FE交于Q因为ABCD是矩形，所以BCAD，所以AQF是异面直线EF与BC所成的角在梯形ADEF中，因为DEAF，AFFE，AF2，DE1得AQF305分 (2) 方法一：设ABx取AF的中点G由题意得DGAF因为平面A
4、BCD平面ADEF，ABAD，所以AB平面ADEF，所以ABDG所以DG平面ABF过G作GHBF，垂足为H，连结DH，则DHBF，所以DHG为二面角ABFD的平面角在直角AGD中，AD2，AG1，得DG在直角BAF中，由sinAFB，得，所以GH在直角DGH中，DG，GH，得DH因为cosDHG，得x，所以AB 15分方法二：设ABx以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz则F(0，0，0)，A(2，0，0)，E(，0，0)，D(1，0)，B(2，0，x)，AEFDBC xzy所以(1，0)，(2，0，x)因为EF平面ABF所以平面ABF的法向量可取(0，1，
5、0)设(x1，y1，z1)为平面BFD的法向量，则所以，可取(，1，)因为cos，得x，所以AB5、如图，已知平面，平面，为等边三角形，为的中点求证：平面；求证：平面平面；求直线和平面所成角的正弦值（1）证明：取CE的中点G,连FG、BG.可证得四边形GFAB为平行四边形，则AF/BG即可证得AF/平面BCE. .(4分)（2）依题意证得BG平面CDE，即可证得平面BCE平面CDE.(8分)（3）解：设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系Axyz, 则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,0),E(1,2),F（设平面BCE的法向量为由可取，设BF和平面BCE所
6、成的角为，则：sin= (12分)6、如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，平面，为的中点求证：；在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由若点为的中点，求二面角的余弦值（1）解：取中点，连结，为的中点平面平面2分7、如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是，为侧棱的中点，为的中点求证：；求直线到平面的距离；求二面角的正切值(1)证明:连结C1E,则C1EA1B1,又A1B1C1CA1B1平面EDC1A1B1DE,而A1B1/ABABDE. (2) 取AB中点为F,连结EF,DF,则EFABABDF过E作直线EHDF于H点,则EH平面DABEH就是直线A1B1
7、到平面DAB的距离在矩形C1EFC中,AA1=AB=2,EF=2,C1E=,DF=2,在DEF中,EH=,故直线A1B1到平面DAB的距离为(3)过A作AMBC于M点,则AM平面CDB过M作MNBD于N点,连结AN,则ANBDANM即为所求二面角的平面角在RtDCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点MN=在RtAMN中,tanANM=8、如图，在直三棱柱中，点是的中点求异面直线与所成角的余弦值；求平面与平面所成二面角的正弦值（1）以为单位正交基底建立空间直角坐标系,则, 异面直线与所成角的余弦值为 6分（2）是平面的的一个法向量设平面的法向量为,，由，得 取,得，,所以平面的法向量为设平面与所成二面角为 , 得所以平面与所成二面角的正弦值为 12分
