1、2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练题组一等差数列前n项和的有关计算1.(2021河北唐山高二上9月质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1 000+a1 021=1,则S2 020=() A.2 020B.1 021C.1 010D.1 0022.(2019福建福州长乐高中、城关中学、文笔中学高二期末联考)等差数列an的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,则公差d等于()A.15B.35C.65D.23.(2020湖北武汉高一下期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=-3,2a4+3a7=9,则S7的值为()A.21B.1C.-42D.04.已知一个
2、等差数列共n项,且其前四项之和为21,末四项之和为67,前n项和为286,则项数n为()A.24B.26C.25D.285.等差数列an的前n项和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=()A.38B.20C.10D.96.(2020广东广州海珠高二上期末联考)某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”,该报告厅的座位按如下规则排列:从第二排起,每一排都比前一排多出相同的座位数,且规划第7排有20个座位,则该报告厅前13排的座位总数是.题组二数列的前n项和Sn与an的关系7.(2020安徽马鞍山高一下期末联考)已知数列an的前n项和Sn=n2-2n+2,则a8=(
3、)A.13B.15C.17D.198.已知数列an的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,则a10=()A.1B.9C.10D.559.已知数列an的前n项和为Sn,求数列an的通项公式.(1)Sn=2n-1;(2)Sn=2n2+n+3.10.设各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足Sn=14(an+1)2,求an.题组三裂项相消法求和11.已知数列an的通项公式为an=1n(n+1),则其前10项和为()A.910B.911C.1112D.101112.已知数列an的通项公式为an=1n+1+n,则其前n项和Sn=.13.已知数列an的通项公式为an=lgn+1n,则其前n项和
4、Sn=.14.正项数列an满足an2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=1(n+1)an,求数列bn的前n项和Tn.能力提升练一、选择题1.()在等差数列an中,a5=3,a6=-2,则a3+a4+a8等于() A.1B.2C.3D.42.()数列an为等差数列,满足a2+a4+a6+a20=10,则数列an的前21项和等于()A.212B.21C.42D.843.()数列an的首项a1=1,对于任意m,nN+,有an+m=an+3m,则an的前5项和S5=()A.121B.25C.31D.354.()已知Sn是等差数列an的前n项和,则S2n-SnS3
5、n=()A.30B.3C.300D.135.()已知Sn是公差d不为零的等差数列an的前n项和,且S3=S8,S7=Sk(k7),则k的值为()A.3B.4C.5D.66.()已知公差不为0的等差数列an满足a32=a1a4,Sn为数列an的前n项和,则S3-S2S5-S3的值为()A.-2B.-3C.2D.37.(2019广东高三六校联考,)记Sn为等差数列an的前n项和,若S5=2S4,a2+a4=8,则a5=()A.6B.7C.8D.108.()已知等差数列an中,a5+a9=14,S9=90,则a12的值是()A.15B.-12C.-32D.329.()设公差不为零的等差数列an的前n
6、项和为Sn,若a4=2(a2+a3),则S7S4=()A.74B.145C.7D.1410.(2020江西新余一中、樟树中学等六校高一下联考,)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn+1+Sn=2n2(nN+),且a10=28,则a2=(深度解析)A.-5B.-10C.12D.1611.()某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(nN+)年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于()A.4B.5C.6D.7二、填空题12.()记等差数列an的前n项
7、和为Sn,若am=10,S2m-1=110,则m的值为.13.()若数列an是正项数列,且a1+a2+an=n2+n,则a1+a22+ann=.14.(2021河南郑州高二联考,)已知数列an满足2a1+22a2+23a3+2nan=n(nN+),设数列1log2anlog2an+1的前n项和为Sn,则S1S2S3S10=.易错15.()已知正项数列an的首项a1=1,前n项和为Sn,若以(an,Sn)为坐标的点在曲线y=12x(x+1)上,则数列an的通项公式为.三、解答题16.(2019湖南师大附中高二期末,)已知公差不为零的等差数列an中,a3=7,a42=a2a9.(1)求数列an的通
8、项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Sn.17.()已知函数f(x)=14x+m(m0),当x1,x2R且x1+x2=1时,总有f(x1)+f(x2)=12.(1)求m的值;(2)设数列an满足an=f(0)+f1n+f2n+f n-1n+f(1),求数列an的前n项和Sn.18.(2019山东菏泽高二期末,)Sn为数列an的前n项和,已知an0,an2+an=2Sn+2.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和Tn.19.(2021河南洛阳新安一中高二上月考,)设数列an满足a1=1,an+1=44-an(nN+).(1)求证:数列1a
9、n-2是等差数列;(2)设bn=a2na2n-1,求数列bn的前n项和Tn.深度解析20.()数列an中,Sn为其前n项和,且2Sn=nan+n(nN+).(1)求证:an是等差数列;(2)若a2=2,bn=n+2anan+12n,Tn是bn的前n项和,求Tn.答案全解全析2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和公式基础过关练1.C由a1 000+a1 021=1,得a1+a2 020=1,所以S2 020=2 020(a1+a2 020)2=1 010.2.A等差数列an的前n项和为Sn,且S5=6,a2=1,S5=5a1+542d=6,a2=a1+d=1,解得a1=45,d=15
10、.故选A.3.D设数列an的公差为d,由2a4+3a7=9,得2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1,故S7=7(-3)+762=0.4.B设该等差数列为an,由题意得a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67.又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,4(a1+an)=21+67=88,a1+an=22.Sn=n(a1+an)2=11n=286,n=26.5.C由题可知am-1+am+1=am2,由等差数列的性质,得am-1+am+1=2am,2am=am2,易得am0,am=2.又S2m-1=(2m-1)(a1+a2m-1)2=2
11、am(2m-1)2=2(2m-1)=38,m=10.6.答案260信息提取从第二排起,每一排都比前一排多出相同的座位数,即相邻两排座位数之差为同一个常数;第7排有20个座位;求前13排的座位总数.数学建模建立等差数列模型,将实际问题转化为等差数列问题来解决,根据已知条件以及等差数列前n项和公式,求得所求的座位总数.解析因为从第二排起,每一排都比前一排多出相同的座位数,所以座位数an构成等差数列an.因为a7=20,所以S13=13(a1+a13)2=132a72=13a7=260.7.Aa8=S8-S7=(82-28+2)-(72-27+2)=13,故选A.8.A由Sn+m=Sn+Sm,得S1
12、0=S9+S1,即S10-S9=S1,所以a10=S1=a1=1.9.解析(1)Sn=2n-1,当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.当n=1时,a1=1符合上式,an=2n-1.(2)Sn=2n2+n+3,当n=1时,a1=S1=212+1+3=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n+3-2(n-1)2+(n-1)+3=4n-1.当n=1时,a1不符合上式,an=6(n=1),4n-1(n2).10.解析当n=1时,a1=S1=14(a1+1)2,解得a1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=14(an+1)2-14
13、(an-1+1)2,即4an=an2+2an+1-(an-12+2an-1+1),an2-an-12-2(an+an-1)=0,(an+an-1)(an-an-1-2)=0.数列an各项均为正数,an+an-10,an-an-1-2=0,即an-an-1=2,数列an是公差为2,首项为1的等差数列,an=1+2(n-1)=2n-1.11.D由an=1n(n+1)=1n-1n+1,得Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1,所以S10=1-111=1011.12.答案n+1-1解析由已知得,an=1n+1+n=n+1-n,所以Sn=a1+a2+an=(2-1)+(3-2)+(n+
14、1-n)=n+1-1.13.答案lg(n+1)解析由已知得an=lg(n+1)-lg n,所以Sn=a1+a2+an=(lg 2-lg 1)+(lg 3-lg 2)+lg(n+1)-lg n=lg(n+1).14.解析(1)由an2-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.an是正项数列,an=2n.(2)an=2n,bn=1(n+1)an,bn=12n(n+1)=121n-1n+1,Tn=121-12+12-13+1n-1-1n+1n-1n+1=121-1n+1=n2(n+1).能力提升练一、选择题1.Can是等差数列,a3+a8=a4+a7=a5+a6=1,a3+a4
15、+a8=3.2.B根据等差数列的求和公式,可知a2+a4+a6+a20=10(a2+a20)2=10,即a2+a20=2,又根据等差数列的性质知,a1+a21=a2+a20,所以数列an的前21项和S21=21(a1+a21)2=21,故选B.3.D令m=1,有an+1=an+3,即an+1-an=3,a1=1,an是首项为1,公差为3的等差数列,an=1+3(n-1)=3n-2,S5=5(a1+a5)2=5a3=5(33-2)=35.4.D因为S2n-Sn=n2(an+1+a2n)=n2(a1+a3n),S3n=3n2(a1+a3n),所以S2n-SnS3n=13.5.B由S3=S8可知3a
16、1+3d=8a1+28d,即a1=-5d.由S7=Sk得7a1+7(7-1)2d=ka1+k(k-1)2d,将a1=-5d代入化简得k2-11k+28=0,解得k=4或k=7(舍去),故选B.6.C公差d0的等差数列an满足a32=a1a4,(a1+2d)2=a1(a1+3d),即a1=-4d,S3-S2S5-S3=a3a5+a4=a1+2d2a1+7d=-4d+2d-8d+7d=2.故选C.7.D解法一(基本法):数列an为等差数列,S5=2S4,a2+a4=8,5a1+542d=24a1+432d,a1+d+a1+3d=8,整理得3a1+2d=0,a1+2d=4,解得a1=-2,d=3,a
17、5=a1+4d=-2+12=10.解法二(性质法):S5=2S4,a2+a4=8,a5=S5-S4=12S5,a1+a5=a2+a4=8.S5=a1+a525,S5=825=20,a5=12S5=10.故选D.8.B设等差数列an的公差为d,由已知得,a5+a9=2a7=14,故a7=7,又S9=9(a1+a9)2=9a5=90,所以a5=10,则a7-a5=-3=2d,即d=-32,故a12=a5+7d=10-212=-12.9.C解法一:根据等差数列的性质及a4=2(a2+a3),得a1+3d=2(a1+d+a1+2d),化简得a1=-d,所以S7S4=7a1+762d4a1+432d=1
18、4d2d=7.解法二:由已知及等差数列的性质,得a4=2(a2+a3)=2(a1+a4),又S7S4=7(a1+a7)24(a1+a4)2=7a42(a1+a4),所以S7S4=7.10.C由题意可得Sn+1+Sn=2n2,Sn+Sn-1=2(n-1)2,n2,nN+,-并化简,得an+an+1=2(2n-1)=4n-2,当n2时,an-1+an=4(n-1)-2=4n-6,-可得an+1-an-1=4(n2,nN+),故数列an的偶数项为等差数列,且公差为4,所以a10=a2+44=28,解得a2=12.方法总结若已知数列an的前n项和Sn求an,则常将Sn转化为Sn+1或Sn-1,再将两式
19、相减转化求解,此法便是阶差法,其理论依据是an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2.11.B设该设备第n(nN+)年的运营费用为an万元,则数列an是以2为首项,2为公差的等差数列,则an=2n,则该设备到第n(nN+)年的运营费用总和为a1+a2+an=2+4+2n=n(2+2n)2=(n2+n)万元.设第n(nN+)年的盈利总额为Sn万元,则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9=-(n-5)2+16,因此,当Sn取最大值时,n=5,故选B.二、填空题12.答案6解析an是等差数列,且am=10,S2m-1=a2m-1+a12(2m-1)=(2m-1)am=10(2m-1)=1
20、10,解得m=6.13.答案2n2+2n解析当n=1时,由a1+a2+an=n2+n,得a1=2,即a1=4;当n2时,a1+a2+an-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.由-,得an=2n,即an=4n2.经检验,n=1时等式也成立,所以an=4n2(nN+),则ann=4n,所以a1+a22+ann=4+8+4n=n(4+4n)2=2n2+2n,故答案为2n2+2n.14.答案111解析2a1+22a2+23a3+2nan=n,2a1+22a2+23a3+2n-1an-1=n-1(n2,nN+),-得2nan=1(n2,nN+),an=12n(n2,nN+),又2a1=1,a1=12
21、,满足上式,an=2-n(nN+),1log2anlog2an+1=1log22-nlog22-(n+1)=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,S1S2S3S10=1223349101011=111.易错警示需注意裂项之后相消的过程中,出现丢项或多项的问题.15.答案an=n解析因为以(an,Sn)为坐标的点在曲线y=12x(x+1)上,所以Sn=12an(an+1),即2Sn=an2+an,所以2Sn+1=an+12+an+1,-,整理得2an+1=an+12+an+1-(an2+an),则an+12-an2=an+an+1,即
22、(an+1+an)(an+1-an)=an+an+1,由an为正项数列,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是首项为1,公差为1的等差数列,则数列an的通项公式为an=n.三、解答题16.解析(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),由已知得,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),d=3a1,又a3=7,a1+2d=7,a1=1,d=3,an=3n-2.(2)由(1)得,bn=1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=1313n-2-13n+1,Sn=b1+b2+bn=131-14+14-17+13n-2-13n+1=131-13n+1=n3n+1.17.解析(1
23、)令x1=x2=12,得f12=14=12+m,解得m=2.(2)由an=f(0)+f1n+f2n+fn-1n+f(1),得an=f(1)+fn-1n+f2n+f1n+f(0),两式相加,得2an=f(0)+f(1)+f1n+fn-1n+f(1)+f(0)=12(n+1),即an=14(n+1),显然数列an是等差数列,当n=1时,a1=12,所以Sn=n12+14(n+1)2=18n2+38n.18.解析(1)由题知,an0,an2+an=2Sn+2.当n=1时,a12+a1=2a1+2,解得a1=2或a1=-1(负值舍去).当n2时,an-12+an-1=2Sn-1+2.-并化简,得an-
24、an-1=1,数列an是以2为首项,1为公差的等差数列,an=n+1,当n=1时,等式成立,an=n+1(nN+).(2)由(1)知an=n+1,bn=1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,Tn=12-13+13-14+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2n+4.19.解析(1)证明:因为an+1=44-an,所以1an+1-2-1an-2=144-an-2-1an-2=4-an2an-4-1an-2=2-an2an-4=-12,为常数.因为a1=1,所以1a1-2=-1,所以数列1an-2是以-1为首项,-12为公差的等差数列.(2)由(1)知1an-2=-1+-1
25、2(n-1)=-n+12,所以an=2-2n+1=2nn+1,所以bn=a2na2n-1=4n2n+12(2n-1)2n=4n2(2n-1)(2n+1)=1+1(2n-1)(2n+1)=1+1212n-1-12n+1,所以Tn=b1+b2+b3+bn=n+121-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=n+121-12n+1=n+n2n+1,所以数列bn的前n项和Tn=n+n2n+1.方法总结在裂项相消法求数列的和中,常见的裂项技巧有:(1)1n(n+k)=1k1n-1n+k;(2)1n+k+n=1k(n+k-n);(3)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1.2
26、0.解析(1)证明:由2Sn=nan+n(n1),得2Sn-1=(n-1)an-1+(n-1)(n2),-得,2an=nan+n-(n-1)an-1-(n-1)(n2),(n-2)an=(n-1)an-1-1(n2),(n-1)an+1=nan-1(n1),-得,(n-1)an+1-(n-2)an=nan-(n-1)an-1(n2),2(n-1)an=(n-1)an-1+(n-1)an+1(n2),2an=an-1+an+1(n2),an是等差数列.(2)设等差数列an的公差为d,2S1=a1+1,a1=1,又a2=2,且由(1)知an是等差数列,d=a2-a1=1,an=n,bn=n+2n(n+1)2n=12n-1n-12n(n+1),Tn=1-14+14-112+12n-1n-12n(n+1)=1-12n(n+1).
