1、第一章集合本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列几组对象可以构成集合的是()A.充分接近的实数的全体B.善良的人C.世界著名的科学家D.某单位所有身高在1.70 m以上的人2.下列各组中,集合A和集合B表示同一集合的是()A.A=,B=3.141 59B.A=2,3,B=(2,3)C.A=1,3,B=,1,|-3|D.A=x|-1x1,xN,B=13.已知集合A=x|x2-1=0,则下列式子表示不正确的是()A.1AB.-1AC.AD.1,-1A4.设集合M=x|x|2,x
2、R,N=x|x24,xN,则()A.M=N B.NMC.MND.MN=5.已知集合A=0,1,2,B=2,3,则集合AB=()A.1,2,3B.0,1,2,3C.2 D.0,1,36.已知M=x|y=x2+1,N=y|y=x2+1,则MN=()A.x|x1 B.C.x|x1 D.R7.若全集A=xZ|0x2,则集合A的真子集共有()A.3个B.5个C.7个D.8个8.集合M=x|x=3k,kN, P=x|x=3k+1,kN,Q=x|x=3k-1,kN,若 aM, bP,cQ,则a+b-c()A.MPB.PC.Q D.M9.已知集合A=1,3,m,B=1,m,AB=A,则m=()A.0或3B.1
3、或3C.0或3D.1或310.已知集合A=x|x2-x-6=0,B=x|ax+6=0,若AB=B,则实数a不可能取的值为()A.3B.2C.0D.-211.定义集合运算:AB=z|z=(x+y)(x-y),xA,yB,设A=2,3,B=1,2,则集合AB的真子集个数为()A.8B.7C.16D.1512.如图所示,M、P、S是V的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(MP)SB.(MP)SC.(MS)(SP)D.(MP)(VP)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.已知全集U=1,2,3,4,5,6,集合A=2,3,5,集合B=1,3,4,6,则
4、A(UB)=.14.方程组x+y=0,x2-4=0的解组成的集合为.15.已知集合P=0,2,5,Q=1,2,6,定义集合P+Q=a+b|aP,bQ,则P+Q中元素的个数是.16.“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”.某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况,随机调查了100名学生,其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名,则使用过共享单车的学生人数为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知集合A=-4,2m-1,
5、m2,B=m-5,1-m,9,若AB=9,求实数m的值.18.(本小题满分12分)已知集合A=x|4x8,B=x|5xa.(1)求AB;(RA)B;(2)若AC,求a的取值范围.19.(本小题满分12分)已知集合A=x|2-ax2+a,B=x|x1或x4.(1)当a=3时,求AB;(2)若a0,且AB=,求实数a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知集合A=xR|ax2-3x+2=0,aR.(1)若集合A是空集,求a的取值范围;(2)若集合A中只有一个元素,求a的值,并把这个集合A写出来.21.(本小题满分12分)设集合A=x|-1x2,集合B=x|2mx1.(1)若AB=B,求实数m的取
6、值范围;(2)若B(RA)中只有一个整数,求实数m的取值范围.22.(本小题满分12分)若集合A具有以下性质:0A,1A;若x,yA,则x-yA,且x0时,1xA.则称集合A是“好集”.(1)判断有理数集Q是不是“好集”,并说明理由;(2)设集合A是“好集”,求证:若x,yA,则x+yA;(3)对任意的一个“好集”A,分别判断下面命题的真假,并说明理由.命题p:若x,yA,则必有xyA;命题q:若x,yA,且x0,则必有yxA.答案全解全析第一章集合本章达标检测1.D2.C3.B4.B5.B6.A7.C8.C9.C10.B11.B12.C一、选择题1.D选项A,B,C所描述的对象没有一个明确的
7、标准,故不能构成一个集合,选项D的标准唯一,故能构成集合.故选D.2.CA中,集合A中的元素为无理数,而集合B中的元素为有理数,故AB;B中,集合A中的元素为实数,而集合B中的元素为有序实数对,故AB;C中,因为|-3|=3,则集合A=1,3,B=,1,3,故A=B;D中,集合A中的元素为0,1,而集合B中的元素为1,故AB.故选C.3.B由A=x|x2-1=0=1,-1知,A,C,D选项中的式子正确,B选项中的式子错误,应该是-1A,故选B.4.BM=x|x|2,xR=x|-2x2,N=x|x24,xN=-2,-1,0,1,2,NM.故选B.5.B依题意得AB=0,1,2,3,故选B.6.A
8、因为M=x|y=x2+1=R,N=y|y=x2+1=y|y1,所以MN=x|x1,故选A.7.C集合A=xZ|0x2=0,1,2,含3个元素,其子集有8个,除去其本身得真子集共有7个,故选C.8.C由题意设a=3k1,b=3k2+1,c=3k3-1(k1,k2,k3N),则a+b-c=3k1+3k2+1-(3k3-1)=3(k1+k2-k3)+2=3(k1+k2-k3+1)-1,而k1+k2-k3+1N,a+b-cQ.故选C.9.C由AB=A得BA,因为A=1,3,m,B=1,m,所以m=3或m=m,解得m=3或m=0或m=1(舍去),故选C.10.B由x2-x-6=0,得x=-2或x=3,A
9、=-2,3.又AB=B,BA.当a=0时,ax+6=0无解,B=,符合题意.当a0时,由ax+6=0得x=-6a,依题意得-6a=-2或-6a=3.解得a=3或a=-2,对比四个选项知a的值不能为2,故选B.11.B已知A=2,3,B=1,2,则AB中的元素有(2+1)(2-1)=1,(2+2)(2-2)=0,(3+1)(3-1)=2,(3+2)(3-2)=1四种结果,由集合中元素的互异性得集合AB有3个元素,故集合AB的真子集个数为23-1=7,故选B.12.C题图中的阴影部分是MS的子集,但不含集合P中的元素,含于集合P的补集,用关系式表示出来即可.二、填空题13.答案2,5解析U=1,2
10、,3,4,5,6,B=1,3,4,6,UB=2,5,又A=2,3,5,A(UB)=2,5.14.答案(2,-2),(-2,2)解析由x2-4=0,解得x=2或x=-2,代入x+y=0,得x=2,y=-2或x=-2,y=2.所以方程组x+y=0,x2-4=0的解组成的集合为(2,-2),(-2,2).15.答案8解析根据题意,得P+Q=1,2,3,4,6,7,8,11,因此集合P+Q中有8个元素.16.答案45信息提取共调查100名学生;使用过共享单车或扫码支付的学生共有80名,使用过扫码支付的学生共有65名,使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30名;求使用过共享单车的学生人数.数学建模本
11、题以社会热点问题“新四大发明”为背景,将实际问题集合化,通过构建集合模型求解.先用集合A表示使用过共享单车的人,用集合B表示使用过扫码支付的人,再根据集合运算确定结果.解析设参加调查的所有人组成全集U,使用过共享单车的人组成集合A,使用过扫码支付的人组成集合B,card(A)表示集合A中的元素,由题意card(AB)=80,card(B)=65,card(AB)=30,card(A(UB)=80-65=15,card(A)=15+30=45.三、解答题17.解析因为AB=9,所以9A且9B,所以2m-1=9,或m2=9,解得m=5,或m=3.(3分)当m=5时,A=-4,9,25,B=0,-4
12、,9,AB=-4,9,不符合题意;当m=3时,B=-2,-2,9,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;当m=-3时,A=-4,-7,9,B=-8,4,9,AB=9,符合题意.(9分)综上所述,m=-3.(10分)18.解析(1)AB=x|4x10.RA=x|x4,或x8,B=x|5x10,(RA)B=x|8x10.(6分)(2)要使得AC,画出数轴如图所示,由图可知a0),B=x|x1或x4,2-a1,2+a4,0a1.(12分)20.解析(1)要使集合A为空集,方程ax2-3x+2=0应无实数根,应满足a0,98.故a的取值范围是98,+.(4分)(2)当a=0时,方程为一元一次方程,有一
13、个解为x=23;(7分)当a0时,方程为一元二次方程,此时集合A中只有一个元素的条件是=0,解得a=98,此时x1=x2=43,a=0或a=98.(10分)当a=0时,A=23;当a=98时,A=43.(12分)21.解析(1)因为AB=B,所以BA.(1分)当B时,-12m1-12m12;(3分)当B=时,2m1,即m12.(5分)综上所述,实数m的取值范围是-12,+.(6分)(2)A=x|-1x2,RA=x|x2.(7分)当B时,2m1,即m12.若B(RA)中只有一个整数,则-32m-2,得-32m-1;(9分)当B=时,2m1,即m12,因此B(RA)=,不符合题意.(11分)综上所
14、述,实数m的取值范围是-32,-1.(12分)22.解析(1)有理数集Q是“好集”.(1分)理由如下:因为0Q,1Q,对任意的x,yQ,有x-yQ,且x0时,1xQ,所以有理数集Q是“好集”. (4分)(2)证明:因为集合A是“好集”,所以0A.若x,yA,则0-yA,即-yA,所以x-(-y)A,即x+yA.(6分)(3)命题p,q均为真命题. 理由如下:对任意的一个“好集”A,任取x,yA, 若x,y中有0或1时,显然xyA.(7分)假设x,y均不为0,1,由定义可知:x-1,1x-1,1xA,所以1x-1-1xA,即1x(x-1)A,所以 x(x-1)A.(8分)由(2)可得x(x-1)+xA,即x2A,同理可得y2A,若x+y=0或x+y=1,则(x+y)2A;若x+y0且x+y1,则(x+y)2A.所以2xy=(x+y)2-x2-y2A,所以12xyA.(10分)由(2)可得:1xy=12xy+12xyA,所以xyA.综上可知,xyA,即命题p为真命题.若x,yA,且x0,则1xA,所以 yx=y1xA,即命题q为真命题.(12分)
