1、顺义区2013届高三第二次统练数学试卷（文史类）选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则（ ）A B C D【答案】A因为，所以,选A.2复数（ ）A B C D 【答案】B,选B.3从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个不相等的实根的概率是（ ）A B C D【答案】C有5种取法，有3种取法，所以共有15种结果。要使方程有两个不相等的实根，则有，即。若，则，此时。若，则，此时。若，则，此时。所以共有9种。所以关于的方程有两个不相等的实根的概率是，选C.4执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）结束开始输
2、出否是A B C D 【答案】A第一次运行，满足条件循环。第二次运行，满足条件循环。第三次运行，满足条件循环。第四次运行，满足条件循环。此时不满足条件，输出，选A.5.已知数列中，等比数列的公比满足且，则（ ）A B C D【答案】B因为，所以，所以，即是公比为4的等比数列，所以，选B.6设变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C设，则。做出可行域如图，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线截距最大，此时z最小。当经过点C时，直线的截距最小，此时z最大。直线2x+y-4=0与x+2y-2=0交于点C（2，0），代入直线得。直线4x-y+1=0与2x+y-4=0交于点B
3、.代入直线得。所以，即，即，所以的取值范围是，选C.7.已知正三角形的边长为，点 是边上的动点，点是边上的动点，且,则的最大值为（ ）A B C D【答案】D,，所以当时，的最大值为，选D. 8.设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且坐标原点到直线的距离为，则面积的最小值为（ ）A B C D【答案】C由题意知。到直线的距离，即。因为，所以，当且仅当时取等号。此时面积的为，所以面积的最小值为3，选C.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.设的内角的对边分别为，且，则的面积 .【答案】,由得.所以.由正弦定理得，所以的面积为.10.已知函数，若，则的最大值为_.【答案】10由得
4、，即。又，所以，当且仅当时取等号。所以。即的最大值为10.11.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名工人天加工的零件数，则甲组工人天每人加工零件的平均数为_；若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人，则这两名工人加工零件的总数超过了的概率为_ 【答案】组工人1天每人加工零件的平均数为。所有的基本事件共有44=16个，满足这两名工人加工零件的总数超过了38的基本事件有：（18，21），（19，21），（21，19），（18，21），（22，17），（22，19），（22，21），共有7个，故这两名工人加工零件的总数超过了38的概率为。12.一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则.俯视图h4
5、52正（主）视图侧（左）视图【答案】4由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：，即，解得。 13.已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_；渐近线方程为_.【答案】，椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的顶点为，即，又，所以，解得，所以。所以双曲线的焦点坐标为。双曲线的渐近线方程为。14. 设函数，则满足的的取值范围是_.【答案】当时，由得，解得。当时，由得，解得。综上。所以满足的的取值范围是。三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分） 已知函数. （）求的值； （）求函数的最小正周
6、期及单调递减区间.16.（本小题满分13分） 已知为等差数列的前项和，且.（）求数列的通项公式； （）求数列的前项和公式.17.（本小题满分14分） 如图，四棱柱中， 是上的点且为中边上的高.（）求证：平面； （）求证：； （）线段上是否存在点，使平面？说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数，其中为正实数，是的一个极值点.（）求的值； （）当时，求函数在上的最小值.19（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且的周长为。 （）求椭圆的方程（）设直线与椭圆相交于、两点，若（为坐标原点），求证：直线与圆相切.20（本小题满分13分）已知函数，其中为常数，函数的
7、图象与坐标轴交点处的切线为，函数的图象与直线交点处的切线为，且。（）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围.（）对于函数和公共定义域内的任意实数。我们把 的值称为两函数在处的偏差。求证：函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.顺义区2013届高三第二次统练数学试卷（文史类）一、 ABCA BCDC二、 9 10 11 12 13 1415解（） 4分（）由 故的定义域为 因为 所以的最小正周期为因为函数的单调递减区间为，由得所以的单调递减区间为13分16解（）设等差数列的公差为， 因为 所以 解得 所以7分（）由（）可知，令 则， 又所以是以4为首项，4为公比的等比数列，设数列的前项和为则1
8、3分17 （）证明：，且平面PCD，平面PCD，所以平面PDC2分（）证明：因为AB平面PAD，且PH平面PAD ， 所以 又PH为中AD边上的高 所以又所以平面而平面所以7分（）解：线段上存在点，使平面 理由如下： 如图，分别取的中点G、则由所以所以为平行四边形，故因为AB平面PAD，所以因此，因为为的中点，且 所以 因此又 所以平面14分18解：（）因为是函数的一个极值点， 所以 因此， 解得经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.4分（）由（）可知，令，得与的变化情况如下：+0-0+所以，的单调递增区间是 单调递减区间是当时，在上单调递减， 在上单调递增所以在上的最小值为当时，在上单
9、调递增，所以在上的最小值为13分19解（）由已知得，且 解得 又所以椭圆的方程为.4分（）证明：有题意可知，直线不过坐标原点，设的坐标分别为 （）当直线轴时，直线的方程为且 则 解得故直线的方程为因此，点到直线的距离为又圆的圆心为，半径所以直线与圆相切.9分 （）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为 由 得 故即又圆的圆心为，半径圆心到直线的距离为将式带入式得所以因此，直线与圆相切.14分20解（）函数的图象与坐标轴的交点为， 又 函数的图象与直线的交点为， 又 由题意可知， 又，所以.3分 不等式可化为 即 令，则， 又时， 故 在上是减函数即在上是减函数因此，在对任意的，不等式成立，只需所以实数的取值范围是.8分（）证明：和的公共定义域为，由（）可知， 令，则， 在上是增函数故，即 令，则，当时，；当时，有最大值，因此由得，即又由得 由得故函数和在其公共定义域的所有偏差都大于2.13分
