1、2017年青海省西宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数=（）A2iB12iC2+iD1+2i2设集合M=1，0，1，N=a，a2则使MN=N成立的a的值是（）A1B0C1D1或13已知平面向量=（2，m），=，且（），则实数m的值为（）ABCD4同时具有性质：“最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数为（）ABCD5某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）A8BC4D6抛物线y2=16x的焦点
2、为F，点A在y轴上，且满足|=|，抛物线的准线与x轴的交点是B，则=（）A4B4C0D4或47在ABC中，A，B，C成等差数列是（b+ac）（ba+c）=ac的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD9若偶函数f（x）在（，0上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）AabcBbacCcabDcba10函数y=cos（x+）（0，0）为奇函数，该函数的部分图象
3、如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2，则该函数图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=2Dx=111设F1、F2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于E，且E是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为（）ABCD12已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2x）=0，（2）f（x2）=f（x），（3）在1，1上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间3，3上的交点个数为（）A5B6C7D8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）132016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去
4、过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方由此可判断乙去过的地方为14已知随机变量X服从正态分布N（3，2），且P（X5）=0.8，则P（1X3）=15如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于16已知正四棱锥SABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知正项数列an的前n项和为S
5、n，且满足4Sn1=an2+2an，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn18为选拔选手参加“中国汉字听写大全”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字
6、听写大会”，每次抽取1人，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率19 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（1）求证：AC平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论20（ab0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点A是椭圆上任一点，AF1F2的周长为（）求椭圆C的方程；（）过点Q（4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的
7、方程21已知f（x）=lnxx+a+1（1）若存在 x（0，+）使得f（x）0成立，求a的范围；（2）求证：当x1时，在（1）的条件下，成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为cos（）=2（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标选修4-5：不等式选讲23已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（
8、1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z22017年青海省西宁市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数=（）A2iB12iC2+iD1+2i【考点】A7：复数代数形式的混合运算【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用1 代替即可【解答】解： =2+i故选C2设集合M=1，0，1，N=a，a2则使MN=N成立的a的值是（）A1B0C1D1或1【考点】1E：交集及其运算【分析】由M=1，0，1，N=a，a2，MN=N，知，由此能求出a的值【解答】解：M
9、=1，0，1，N=a，a2，MN=N，解得a=1故选C3已知平面向量=（2，m），=，且（），则实数m的值为（）ABCD【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】由向量的坐标的加减运算求出，然后直接利用向量垂直的坐标表示列式求出m的值【解答】解：由，所以=再由（ab）b，所以=所以m=故选B4同时具有性质：“最小正周期是；图象关于直线对称；在上是增函数”的一个函数为（）ABCD【考点】H5：正弦函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；H6：正弦函数的对称性【分析】利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：由于y=sin（+）的最小正周期为=4
10、，不满足，故排除A由于y=cos（）的最小正周期为=4，不满足，故排除B由于y=cos（2x+），在上，2x+，故y=cos（2x+）在上没有单调性，故排除C对于y=sin（2x）的最小正周期为=；当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；在上，2x，故y=sin（2x）在上是增函数，故D满足题中的三个条件，故选：D5某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（）A8BC4D【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面求出底面面积和高，即可求出体积
11、【解答】解：由三视图可知，几何体是一个底面是正方形的四棱锥，且一条侧棱垂直于底面底面对角线的长为2，底面面积是S=22=2，四棱锥高为h=2，所以它的体积是22=，故选：D6抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足|=|，抛物线的准线与x轴的交点是B，则=（）A4B4C0D4或4【考点】K8：抛物线的简单性质【分析】求得抛物线的焦点坐标，由条件可得A的坐标，再由抛物线的准线可得B的坐标，得到向量FA，AB的坐标，由数量积的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0），|=|，可得A（0，4），又B（4，0），即有=（4，4），=（4，4）或=（4，4
12、），=（4，4）则有=1616=0，故选：C7在ABC中，A，B，C成等差数列是（b+ac）（ba+c）=ac的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充要条件【分析】由A，B，C成等差数列即可得到B=60，而根据余弦定理即可得到a2+c2b2=ac，这样即可求得（b+ac）（ba+c）=ac，这就说明A，B，C成等差数列是（b+ac）（ba+c）=ac的充分条件；而由（b+ac）（ba+c）=ac，便可得到a2+c2b2=ac，从而根据余弦定理求出B=60，再根据三角形内角和为180即可说明BA=CB，即得到A，B，C成等差数列，这样即可找出正确
13、选项【解答】解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180，B=60；由余弦定理得，b2=a2+c2ac；a2+c2b2=ac；（b+ac）（ba+c）=b2（ac）2=b2a2c2+2ac=ac+2ac=ac；即（b+ac）（ba+c）=ac；A，B，C成等差数列是（b+ac）（ba+c）=ac的充分条件；（2）若（b+ac）（ba+c）=ac，则：b2（ac）2=b2a2c2+2ac=ac；a2+c2b2=ac；由余弦定理：a2+c2b2=2accosB；B=60；60A=180（A+60）60；即BA=CB；A，B，C成等差数列；A，B，C成等差数列是（b+ac）
14、（ba+c）=ac的必要条件；综上得，A，B，C成等差数列是（b+ac）（ba+c）=ac的充要条件故选：C8现有四个函数：y=xsinx；y=xcosx；y=x|cosx|；y=x2x的图象（部分）如图：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（）ABCD【考点】3O：函数的图象【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【解答】解：根据y=xsinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是；根据y=xcosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数，在（，）上的值为负数，故第三个图象满足；根据y=x|cosx|为奇函数，当x0时，
15、f（x）0，故第四个图象满足；y=x2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足，故选：D9若偶函数f（x）在（，0上单调递减，a=f（log23），b=f（log45），c=f（2），则a，b，c满足（）AabcBbacCcabDcba【考点】3F：函数单调性的性质；4M：对数值大小的比较【分析】由偶函数f（x）在（，0上单调递减，可得f（x）在0，+）上单调递增，比较三个自变量的大小，可得答案【解答】解：偶函数f（x）在（，0上单调递减，f（x）在0，+）上单调递增，2log23=log49log45，22，f（log45）f（log23）f（2），bac，故选：B10函数
16、y=cos（x+）（0，0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点与最低点，且|AB|=2，则该函数图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=2Dx=1【考点】HB：余弦函数的对称性【分析】根据y=cos（x+）（0，0）为奇函数求得的值，根据|AB|=2，利用勾股定理求得的值，可得函数的解析式，从而得到函数图象的一条对称轴【解答】解：由函数y=cos（x+）（0，0）为奇函数，可得=k+，kz再结合0，可得=再根据AB2=8=4+，求得=，函数y=cos（x+）=sinx，故它的一条对称轴方程为x=1，故选：D11设F1、F2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，与直线y=b
17、相切的F2交椭圆于E，且E是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为（）ABCD【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K4：椭圆的简单性质【分析】由题设知EF2=b，且EF1EF2，再由E在椭圆上，知EF1+EF2=2a由F1F2=2c，知4c2=（2ab）2+b2由此能求出椭圆的离心率【解答】解：F1、F2分别是椭圆+=1（ab0）的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于E，且E是直线EF1与F2的切点，EF2=b，且EF1EF2，E在椭圆上，EF1+EF2=2a又F1F2=2c，F1F22=EF12+EF22，即4c2=（2ab）2+b2将c2=a2b2代入得b=ae2=1（）2=椭圆的
18、离心率e=故选D12已知定义在R上的函数f（x）满足：（1）f（x）+f（2x）=0，（2）f（x2）=f（x），（3）在1，1上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象区间3，3上的交点个数为（）A5B6C7D8【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】由题意可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称，又关于直线x=1对称；再结合g（x）的解析式画出这2个函数区间3，3上的图象，数形结合可得它们的图象区间3，3上的交点个数【解答】解：由f（x）+f（2x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称由f（x2）=f（x），可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称又
19、f（x）在1，1上表达式为f（x）=，可得函数f（x）在3，3上的图象以及函数g（x）=在3，3上的图象，数形结合可得函数f（x）的图象与函数g（x）的图象区间3，3上的交点个数为6，故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）132016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】可先由乙推出，可能去过陆心之海青海湖
20、或茶卡天空之境，再由甲推出乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙即可推出结论【解答】解：由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖故答案为：陆心之海青海湖14已知随机变量X服从正态分布N（3，2），且P（X5）=0.8，则P（1X3）=0.3【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，2），看出这组数据对应的正态曲线的
21、对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（3，2），对称轴是x=3P（X5）=0.8，P（X5）=0.2，PP（1X3）=0.50.2=0.3故答案为0.315如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于【考点】69：定积分的简单应用；CF：几何概型【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式，解答【解答】解：由已知，矩形的面积为4（21）=4，阴影部分的面积为=（4x）|=，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：16已知正四棱锥SAB
22、CD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为2【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【解答】解：设底面边长为a，则高h=，所以体积V=a2h=，设y=12a4a6，则y=48a33a5，当y取最值时，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h=2，故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知正项数列an的前n项和为Sn，且满足4Sn1=an2+2an
23、，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）通过4Sn1=an2+2an，令n=1可得首项，当n2时，利用4an=an2+2an（an12+2an1）可得公差，进而可得结论（2）由bn=，利用裂项求和法能证明Tn【解答】（1）解：当n=1时，4a1=4S1=+2a1+1，解得a1=1当n2时，4Sn=an2+2an+1，4Sn1=an12+2an1+1，相减得4an=an2+2an（an12+2an1），即an2an12=2（an+an1），又an0，an+an10，则anan1=2，数列an是
24、首项为1，公差为2的等差数列，an=1+（n1）2=2n1（2）bn=，数列bn的前n项和：Tn=，（Tn）min=T1=，Tn18为选拔选手参加“中国汉字听写大全”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本（样本容量为n）进行统计按照50，60），60，70），70，80），80，90），90，100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在50，60），90，100的数据）（）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中
25、国汉字听写大会”，每次抽取1人，求在第1次抽取的成绩低于90分的前提下，第2次抽取的成绩仍低于90分的概率【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图【分析】（）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有：0.0101050=5人，分数在90，100）内的学生有2人，利用条件概率公式可得结论【解答】解：（）由题意可知，样本容量，x=0.1000.0040.0100.0160.040=0.030（）由题意可知，分数在80，90）内的学生有：0.0101050=5人，分数在90，100）内的学生有2人；设A=第1次抽取的成绩低于90
26、分，B=第2次抽取的成绩仍低于90分，则，19 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60（1）求证：AC平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）根据DE平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DEAC，由ABCD是正方形可知ACBD，而DEBD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM平面BEF取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN
27、，NF，则DEMN，且DE=3MN，而AFDE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AMFN，AM平面BEF，FN平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论【解答】（1）证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC因为ABCD是正方形，所以ACBD，因为DEBD=D从而AC平面BDE（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM平面BEF 取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DEMN，且DE=3MN，因为AFDE，且DE=3AF，所以AFMN，且AF=MN，故四边形AMNF是平行四边形 所以AMFN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，所以AM平面B
28、EF 20（ab0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点A是椭圆上任一点，AF1F2的周长为（）求椭圆C的方程；（）过点Q（4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质【分析】（I）利用椭圆的定义、及b2=a2c2即可解出；（II）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量，即可得出坐标之间的关系
29、，消去及k即可得出结论【解答】解（）AF1F2的周长为，2a+2c=，即又，解得a=2，b2=a2c2=1椭圆C的方程为（）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）由得（1+4k2）x2+32k2x+64k24=0由题意=（32k2）24（1+4k2）（64k24）0，即12k210则，由，得（4x1，y1）=（x2+4，y2），4x1=（x2+4），设点R的坐标为（x0，y0），由，得（x0x1，y0y1）=（x2x0，y2y0），x0x1=（x2x0），解得=，而2x1x2+4（x1+x2）=，故点R在定直线x=1上21已知f（x）=ln
30、xx+a+1（1）若存在 x（0，+）使得f（x）0成立，求a的范围；（2）求证：当x1时，在（1）的条件下，成立【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求导数，确定函数在x=1处取得最大值f（1）=a，即可求a的范围；（2）令g（x）=，证明g（x）0，即可证明【解答】解：（1）f（x）=lnxx+a+1（x0），f（x）=函数在（0，1）上，f（x）0，在（1，+）上，f（x）0，函数在x=1处取得最大值f（1）=a，存在 x（0，+）使得f（x）0成立，a0；（2）证明：令g（x）=，则g（x）=x+alnx1，f（x）=lnxx+a+1f（1）=a，xlnx10，g
31、（x）0x1，g（x）g（1）=0，成立请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标轴方程为cos（）=2（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的直角坐标【考点】QH：参数方程化成普通方程【分析】（1）利用cos2+sin2=1可把曲线C的参数方程（为参数）化为直角坐标方程，直线l的极坐标轴方程为cos（）=2，展开，利用即可化
32、为直角坐标方程（2）设点P的坐标为，利用点到直线的距离公式可得P到直线l的距离d=，再利用三角函数的单调性即可得出【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），曲线C的直角坐标方程： =1，直线l的极坐标轴方程为cos（）=2，展开，cos+sin=4，直线l的直角坐标方程为x+y=4（2）设点P的坐标为，得P到直线l的距离d=，令sin=，cos=则d=，显然当sin（+）=1时，dmax=此时+=2k+，kZcos=sin=sin=sin=cos=，即P选修4-5：不等式选讲23已知：x、y、z是正实数，且x+2y+3z=1，（1）求的最小值；（2）求证：x2+y2+z2【考点】7F：基本不等式【分析】（1）由题意整体代入可得=6+（+）+（+）+（+），由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性质可得【解答】解：（1）x、y、x是正实数，且x+2y+3z=1，=（）（x+2y+3z）=6+=6+（+）+（+）+（+）6+2+2+2当且仅当=且=且=时取等号；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），x2+y2+z2，当且仅当x=2y=3z即x=，y=，z=时取等号故x2+y2+z22017年6月2日
