1、第五章 数列第4讲 数列求和考纲展示三年高考总结1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式2掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.课时思维激活教材知识梳理和小题探究回扣教材1.求数列前 n 项和的方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和等差数列的前 n 项和公式：Snna1an2.等
2、比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.na1nn12d(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn100299298297
3、22212(10099)(9897)(21)5050.2常见的拆项公式(1)1nn11n 1n1；(2)12n12n11212n112n1；(3)1n n1 n1 n.小题快做1.思考辨析(1)若 Sn1234(1)n1n，则 S5025.()(2)已知等差数列an的公差为 d，则有1anan11d1an 1an1.()(3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()2教材改编数列an中，an1nn1，若an的前 n 项和为20152016，则项数 n 为()A2014 B2015C2016 D2017解析 由
4、已知 an1nn11n 1n1，则其前 n 项和 Sna1a2an11212131n 1n11 1n120152016，解得 n2015，故选 B.3数列an的通项 ansinn3，前 n 项和为 Sn，则 S2015 等于()A.12B0C1 D12解析 由 ansinn3，知数列an是以 6 为周期的数列，且 a1a2a60，则 S2015(a1a2a6)(a2005a2010)a2011a2015a1a2a50.故选 B.4等比数列an的前 n 项和为 Sn，公比不为 1.若 a11，则对任意的 nN*，都有 an2an12an0，则 S5_.11解析 由题意知 a3a22a10，设公比
5、为 q，则 a1(q2q2)0.a10，由 q2q20，解得 q2 或 q1(舍去)，则 S5a11q51q125311.考点多维探究考点 1 分组转化法求和典例1 2014湖南高考已知数列an的前 n 项和 Snn2n2，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2an(1)nan，求数列bn的前 2n 项和解(1)当 n1 时，a1S11；当 n2 时，anSnSn1n2n2n12n12n，故数列an的通项公式为 ann.(2)由(1)知 ann，故 bn2n(1)nn，记数列bn的前 2n 项和为 T2n，则 T2n(212222n)(12342n)记 A212222n，B123
6、42n，则 A2122n1222n12，B(12)(34)(2n1)2nn，故数列bn的前 2n 项和 T2nAB22n1n2.分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差数列或等比数列，可采用分组求和法求an的前 n项和；(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和(3)若数列an的通项为 an(1)nf(n)，一般利用并项求和法求数列前 n 项和.【跟踪训练】12016哈师大附中月考已知数列an，bn满足 a15，an2an13n1(n2，nN*)，bnan3n(nN*)(1)求数列bn的通项
7、公式；解(1)an2an13n1(nN*，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN*，n2)b1a1320，bn0(n1)，bnbn12，bn是以 2 为首项，2 为公比的等比数列bn22n12n.(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解(2)由(1)知 anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)212n12 313n132n13n12 72.考点多维探究考点 2 裂项相消法求和典例2 2015课标全国卷Sn 为数列an的前 n 项和，已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；解(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.可得
8、a2n1a2n2(an1an)4an1，即2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由于 an0，可得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1.(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和解(2)由 an2n1 可知 bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3 n32n3.几种常见的裂项相消及解题策略(1)常见的裂项方法(其中 n 为正整数)(2)利用裂项相消法求和时
9、，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使前后相等.【跟踪训练】2正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式 an；解(1)由 S2n(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以 Sn0，Snn2n.于是 a1S12，n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项 an2n.(2)令 bnn1n22a2n，数列bn的前 n 项和为 Tn.证明：对于任意的 nN*，都有 Tn 564
10、.解(2)证明：由于 an2n，bnn1n22a2n，则 bnn14n2n22 1161n21n22.Tn 1161 132 122 142 132 1521n121n12 1n21n22 1161 1221n121n22 1161 122 564.考点多维探究考点 3 错位相减法求和数列求和是高考的一个热点，尤其是用错位相减法求和，常于解答题中出现，进行综合考查，即与等差、等比数列综合考查，也常与不等式等进行综合考查，且主要有以下几种命题角度.命题角度 1 利用错位相减法求和典例3 2016陕西质检已知正项数列an是首项为 2 的等比数列，且 a2a324.(1)求数列an的通项公式；解(1
11、)设正项数列an的公比为 q，则 2q2q224，q3(q4 舍去)，an23n1.(2)设 bn2n3an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(2)bn2n3an2n323n1 n3n，Tn13 232 333 n3n，13Tn 132 233n13n n3n1.由，得23Tn13 132 133 13n n3n1.Tn32131 13n113 n3n1 3n12n343n.命题角度 2 错位相减法求和在不等式中的应用典例4 2016云南名校联考已知数列an的前 n 项和 Sn 和通项 an 满足 2Snan1，数列bn中，b11，b212，2bn1 1bn 1bn2(nN*)(1)求数列a
12、n，bn的通项公式；解(1)由 2Snan1，得 Sn12(1an)当 n2 时，anSnSn112(1an)12(1an1)12an12an1，即 2ananan1，anan113(由题意可知 an10)an是公比为13的等比数列，而 S1a112(1a1)，a113，an1313n113n，由 2bn1 1bn 1bn2，1b11，1b22，得 d 1b2 1b11(d 为等差数列1bn 的公差)，1bnn，bn1n.(2)数列cn满足 cnanbn，求证：c1c2c3cn34.解(2)证明：cnanbnn13n，设 Tnc1c2cn，则Tn113121323133n13n，13Tn113
13、22133(n1)13nn13n1，由错位相减，化简得：Tn343413n12n13n342n34 13n34.利用错位相减法的一般类型及思路(1)求数列的前 n 项和一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是在和式的两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解若bn的公比为参数(字母)，则应对公比分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和(2)比较大小或证明不等式要善于识别题目类型，抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和，再利用比较法或放缩法解决问题.【跟踪训练】32013山东高考设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S
14、44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；解(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.由 S44S2，a2n2an1 得4a16d8a14d，a12n1d2a12n1d1.解得 a11，d2.因此 an2n1，nN*.(2)设数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tnan12n(为常数)，令 cnb2n(nN*)，求数列cn的前 n 项和Rn.解(2)由题意知：Tn n2n1，所以 n2 时，bnTnTn1 n2n1n12n2 n22n1.故 cnb2n2n222n1(n1)14n1，nN*.所以 Rn0140114121423143(n1)14n1，则14Rn01411142
15、2143(n2)14n1(n1)14n，两式相减得34Rn14114214314n1(n1)14n1414n114(n1)14n.1313n314n，整理得 Rn1943n14n1.所以数列cn的前 n 项和 Rn1943n14n1.方法与技巧1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错
16、位相减法、倒序相加法等来求和失误与防范1直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论2在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an1 的式子应进行合并3在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项微专题规范答题求数列|an|的前 n 项和典例 2013浙江高考在公差为 d 的等差数列an中，已知 a110，且 a1,2a22,5a3 成等比数列(1)求 d，an；(2)若 dk，若前 k 项为正，以后各项非正，则 TnSn，nk2SkSn，nk.解(1)由题意得 5a3a1(2a2
17、2)2，即 d23d40.故 d1或d4.(3 分)所以 ann11，nN*或 an4n6，nN*.(5 分)(2)设数列an的前 n 项和为 Sn，因为 d0，由(1)得 d1，ann11.(6 分)则当 n11 时，|a1|a2|a3|an|Sn12n2212 n.(8 分)当 n12 时，|a1|a2|a3|an|Sn2S1112n2212 n110.(10 分)综上所述，|a1|a2|a3|an|12n2212 n，n11，12n2212 n110，n12.(12 分)注(1)题中处对等比数列的性质应用不当错解公差 d 造成本题不得分(2)题中处未能由条件确定出数列an的通项而造成不必要的失误(3)题中处不能将结论写成分段函数的形式而造成无谓失分满分心得 求数列|an|的前 n 项和一般步骤如下：第 1 步：求数列an的前 n 项和；第 2 步：令 an0(或 an0)确定分类标准；第 3 步：分两类分别求出前 n 项和；第 4 步：利用分段函数的形式表示结论；第 5 步：反思回顾，查看|an|的前 n 项和与an的前 n 项和的关系，以防求错结论课后课时作业
