1、第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形第3课时菱形及其性质1课堂讲解u菱形的定义u菱形边的性质u菱形对角线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业平行四边形的性质：边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线平行四边形的对角线互相平分；1知识点菱形的定义知1导在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？平行四边形有一组邻边相等的平行四边形菱形邻边相等知1讲有一组的叫做邻边相等平行四边形ADCB四边形ABCD是平行四边形AB=BC四边形ABCD是菱形菱形.知1讲感受生活感受生活你能举出生活中你看到
2、的菱形吗？你能举出生活中你看到的菱形吗？知1讲例1 已知：如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，DEAC交BC于点E，DFBC交AC于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？知1讲因为DEFC，DFEC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可导引：知1讲四边形DECF是菱形理由如下：DEFC，DFEC，四边形DECF为平行四边形由ACDE，知23.CD平分ACB，12，13，DEEC，平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)解：总结知1讲本题考查了菱形的定义，菱形的定义也可以作为菱形的判定方法1如图，在ABC中，ABAC，D是B
3、C上一点，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()AADBCBBADCADCBDDCDADBD知1练B2知识点菱形的边的性质知2导菱形具有平行四边形的所有性质此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问 题菱形的四条边都相等.知2讲例2 如图所示，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为()A B C D3 在菱形ABCD中，因为B60，连接AC，则ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE，所以AEF的周长
4、为，故选B.B分析：总结知2讲在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.1边长为3 cm的菱形的周长是()A6 cm B9 cm C12 cm D15 cm知2练C2【中考兰州】如图，在菱形ABCD中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF，则AEF的面积是()A4 B3 C2 D.知2练B3【中考重庆】如图，在边长为6的菱形ABCD中，DAB60，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是()A18 9 B183C9 D18 3知2练A4【中考鄂州】如图，菱形ABCD的边AB8，B60，P是AB上一点
5、，BP3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A.当CA的长度最小时，CQ的长为()A5 B7 C8 D.知2练B3知识点菱形的对角线的性质知3导因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?归纳知3导对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以下性质：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.知3导问 题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种
6、是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算知3讲例3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD12 cm，AC6 cm.求菱形的周长导引：四边形ABCD是菱形，ACBD，AOAC，BOBD.AC6 cm，BD12 cm，AO3 cm，BO6 cm.在RtABO中，由勾股定理，得AB菱形的周长4AB知3讲解：总结知3讲菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段
7、的长，再利用勾股定理来计算知3讲如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，ABC=60，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位).例4 花坛ABCD的形状是菱形，ACBD，ABO=ABC=60=30.在RtOAB中，AO=AB=20=10，花坛的两条小路长AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20 34.64(m).花坛的面积S四边形ABCD=4SOAB=ACBD=200 346.4(m2).知3讲解：总结知3讲菱形的面积有三种计算方法：(1)将其看成平行四边形，用底与高的积来求；(2)对角线分得的四个全等直角三角形面
8、积之和；(3)两条对角线乘积的一半说明：读者可利用(1)(2)两种方法试一试；注意应用(3)这种方法时不要忽视“一半”1四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.知3练如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，且AOCO，OBOD.又因为AB5，AO4，所以在RtAOB中，OB所以BD2OB236，AC2AO248.解：2已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，求菱形的周长和面积.知3练如图，由已知得，在菱形ABCD中，AC8，BD6.所以OAOC4，OBOD3.又由题意知ACBD，所以在RtOAB中，AB又因为ABBCCDAD，所以菱形的
9、周长为ABBCCDAD4AB4520，菱形的面积为ACBD 8624.解：3【中考南充】已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为()A2 B.C3 D4知3练D4【中考河北】求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：ACBD.以下是排乱的证明过程：又BODO；AOBD，即ACBD；四边形ABCD是菱形；ABAD.证明步骤正确的顺序是()ABCD知3练B5【中考长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为()A5 cm B10 cm C14 cm D20 cm知3练D我们已经知道菱
10、形是特殊的平行四边形，因此菱形是中心对称图形，想一想 菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？菱形是轴对称图形，对称轴有两条.拓展延伸归纳菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.对称轴是分别经过两组对角顶点的两条直线例5 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BEDF.(1)求证：AEAF.(2)若B60，点E，F分别是BC，CD的中点，求证：AEF为等边三角形.(1)要证AEAF，只需证AEBAFD，由BEDF及菱形的相关性质进行证明即可(2)如图，要证AEF为等边三角形，由AEAF知，只需证EAF60即可，要证EAF60，只需证1230即可，这可由菱形及等边三角形
11、相关知识证出导引：(1)四边形ABCD是菱形，ABAD，BD.又BEDF，ABEADF，AEAF.(2)如图，连接AC.四边形ABCD是菱形，ABBC.又B60，ABC为等边三角形BAC60.E为BC的中点，1BAC30.同理230，EAF60.又AEAF，AEF为等边三角形证明：总结菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形(特殊时为两个全等的等边三角形)，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起1菱形是轴对称图形，其对称轴的条数为()A2条B4条C6条D8条A2【中考益阳】下列性质中菱形不一定具有的性质是()A对角线互相平分B对角线互相垂直C对角线相等D既是轴对称图形又是中心对称图形C1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质：(1)它具有平行四边形的一切性质.(2)菱形的四条边相等.(3)菱形的对角线互相垂直，并且一条对角线平分一组对角.1知识小结
