1、【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编10：圆锥曲线一、填空题 （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知椭圆的离心率,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为、,则=_. 【答案】 （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点为,过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于,两点,若为直角三角形,则双曲线的离心率为_.【答案】2 （江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设双曲线的左、右焦点分别为,点P为双曲线上位于第一象限内一
2、点,且的面积为6,则点P的坐标为_【答案】 （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为_.【答案】; （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦 点到准线的距离为_.【答案】4 （南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）设点P是曲线y=x2上的一个动点,曲线y=x2在点P处的切线为l,过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=x2的另一交点为Q,则PQ的最小值为_.【答案】 （江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学
3、试卷）椭圆()的左焦点为F,直线与椭圆相交于A,B两点,若的周长最大时,的面积为,则椭圆的离心率为_.【答案】 （南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为_.【答案】答案:. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申 （苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_.【答案】 （扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标
4、系xOy中,设椭圆与双曲线共焦点,且经过点,则该椭圆的离心率为_.【答案】 （南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系中,已知双曲线C:.设过点M(0,1)的直线与双曲线C交于A、B两点,若,则直线的斜率为_.【答案】 （南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.若=2,则双曲线的离心率为_.【答案】2 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）方程表示双曲线的充要条件是_.【答案】; （南京市、
5、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点是椭圆上的任意一点, 则的取值范围是 .【答案】 （连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2 = 4x的准线交于A、B两点,AB =,则C的实轴长为_.【答案】1; （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于,则此双曲线方程为_.【答案】 （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切,则圆的标准方程为_.【答案】
6、; （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率的值为_. 【答案】 （江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为_.【答案】 （江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知,是双曲线的两个焦点,以线段为边作正,若边的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为_.【答案】 （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）设双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则此双曲
7、线离心率的最大值为_.【答案】; 二、解答题（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,圆O与离心率为的椭圆T:()相切于点M.求椭圆T与圆O的方程;过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D(均不重合).若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为、,求的最大值;若,求与的方程.【答案】解: (1)由题意知: 解得可知: 椭圆的方程为与圆的方程 (2)设因为,则因为 所以, 因为 所以当时取得最大值为,此时点 (3)设的方程为,由解得; 由解得 把中的置换成可得,12分 所以, , 由得解得15分 所以的方程为,的方程为 或的方程为,的方程为16分
8、的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值. 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. 式方程为) (3)设直线的斜率为,由题直线与的斜率互为相反数, 直线的斜率为.联立直线与椭圆方程: , 整理得,得, 所以,整理得, 又 =,所以为定值 方程为:,则圆心为(), PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 圆心()满足,所以, 圆过定点(2,0),所以, 圆过, 则 两式相加得: , , 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以, 由解得: 代
9、入圆的方程为:, 整理得:, 所以: 解得:或(舍). 所以圆过定点(0,1) (法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程: 方程与方程为同解方程., 圆过定点(2,0),所以 , 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以. 解得: , (以下相同) 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问题;考查运算求解能力和推理论证能力. （镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）斜率为1的直线与抛物线交于不同两点,求线段中点的轨迹方程.【答案】解:设直线方程:, 将代入,得, 所以 , 线段中点的轨迹方程为: （江苏省泰州市2012-2013学年
10、度第一学期期末考试高三数学试题）直角坐标系中,已知椭圆 【答案】(1)P(,), KOP=-1,4b2=3a2=4(a2-c2), a2=4c2, e= (2)MN=, 由得,a2=4,b2=3, (3)cos=cos,= 化简得: t=-y0 0y0,t(-,0) （扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C. ()若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;()若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;()设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?
11、若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.【答案】解:()当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上, 得, , ()设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知, ,则点B在线段的中垂线上, 又, 代入椭圆方程得=,= ()法一:由得, ,或, ,则 由得, 得,或,同理,得, 当时, , BDAD,为圆, ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0) 法二:直线过定点, 证明如下: 设,则: , 所以,又 所以三点共线,即直线过定点 （南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,已知定点R(0,-3),动点P,Q分别在x轴和y轴上移动,延长PQ
12、至点M,使,且.(1)求动点M的轨迹C1;(2)圆C2: ,过点(0,1)的直线l依次交C1于A,D两点(从左到右),交C2于B,C两点(从左到右),求证:为定值.ORPxyQM（第22题）【答案】解:(1)法一:设M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由及R(0,-3),得 化简,得 所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线 法二:设M(x,y). 由,得 . 所以,. 由,得 ,即.化简得 所以,动点M的轨迹C1是顶点在原点,开口向上的抛物线 (2)证明:由题意,得 ,C2的圆心即为抛物线C1的焦点F. 设,则 同理 . 设直线的方程为 . 由得,即. 所以, （20
13、12-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知抛物线和抛物线在交点处的两条切线互相垂直,求实数的值.【答案】 （常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且. (1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M 为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1),.,化简得, 故椭圆E的离心率为. (2)存在满足条件的常数
14、,.点为线段的中点,从而,左焦点,椭圆E的方程为.设,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、共线,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,. （苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,已知点是椭圆的左焦点,分别为椭圆的右、下、上顶点,满足,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若为线段(包括端点)上任意一点,当取得最小值时,求点的坐标;(3)设点为线段(包括端点)上的一个动点,射线交椭圆于点,若,求实数的取值范围.OMNACB【答案】 （徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）如图,在平面直角坐标
15、系中,已知椭圆:的离心率,分别是椭圆的左、右两个顶点,圆的半径为,过点作圆的切线,切点为,在轴的上方交椭圆于点. 求直线的方程;求的值;设为常数.过点作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点,分别交圆于点,记和的面积分别为,求的最大值.A1A2OPQMNBCxy（第18题图）【答案】连结,则,且, 又,所以. 所以,所以直线的方程为 由知,直线的方程为,的方程为, 联立解得 因为,即,所以,故椭圆的方程为. 由解得, 所以 不妨设的方程为, 联立方程组解得, 所以; 用代替上面的,得. 同理可得, 所以 因为, 当且仅当时等号成立,所以的最大值为 （江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届
16、高三第三次调研测试数学试卷）如图,在平面直角坐标系中,椭圆的右焦点为,离心率为.分别过,的两条弦,相交于点(异于,两点),且.(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线,的斜率之和为定值.（第18题）【答案】(1)解:由题意,得,故, 从而, 所以椭圆的方程为. (2)证明:设直线的方程为, 直线的方程为, 由得,点,的横坐标为, 由得,点,的横坐标为, 记, 则直线,的斜率之和为 （2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）如图,设,分别为椭圆的右顶点和上顶点,过原点作直线交线段于点(异于点,),交椭圆于,两点(点在第一象限内),和的面积分别为与.(1)若是线段的中点,直线的方程为,求椭圆的离心率;(2)当点在线段上运动时,求的最大值.OMDACB【答案】
