1、北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理工类） 2013.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，若，则实数的值是 A B C或 D或或2.命题：对任意，的否定是A：对任意， B：不存在, C：存在, 输出T开 始T=0,i=1结束缚i5？是i=i+1否T=T+i2D：存在, 3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A91B55 C54 D304.若， 则A
2、BC D5.由直线，与曲线所围成的图形的面积等于 A B C D6.已知平面向量，则下列结论中错误的是A向量与向量共线B若（，），则，C对同一平面内任意向量，都存在实数，使得D向量在向量方向上的投影为7. 若函数的图象与函数的图象至多有一个公共点，则实数的取值范围是 . .A. B. C. D. 8.同时满足以下4个条件的集合记作：（1）所有元素都是正整数；（2）最小元素为1；（3）最大元素为2014；（4）各个元素可以从小到大排成一个公差为的等差数列那么中元素的个数是A96 B94 C92 D90第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题
3、卡上. 9在公比小于零的等比数列中，则数列的前三项和 10函数的最小值是 11曲线在点，处的切线经过点，则 12已知平面向量与的夹角为，则 ；若平行四边形满足，则平行四边形的面积为 13已知函数 若，则实数的取值范围是 14已知函数（），数列满足，.则与中，较大的是 ；，的大小关系是 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数（）求函数的最小正周期及最小值；（）若，且，求的值16. （本小题满分13分）在中，角，所对的边分别为，且（）若，求的面积；（）若，求的最大值. 17.（本小题满分13分）已知等差数列的前项和为，且，.
4、（）求；（）若，求的值和的表达式.18. （本小题满分14分）已知函数,.（）若函数的图象与轴无交点，求的取值范围；（）若函数在上存在零点，求 的取值范围；（）设函数，.当时，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围19.（本小题满分14分）已知函数，.（）求函数的单调递增区间； （）设，为函数的图象上任意不同两点，若过， 两点的直线的斜率恒大于，求的取值范围.20. （本小题满分13分）如果项数均为的两个数列，满足且集合，则称数列是一对 “项相关数列”.（）设是一对“4项相关数列”，求和的值，并写出一对“项相关数列” ；（）是否存在 “项相关数列” ？若存在，试写出一对；若不存在，请说明理由；
5、（）对于确定的，若存在“项相关数列”，试证明符合条件的“项相关数列”有偶数对北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷答案（理工类） 2013.11一、 选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案CCBDACDB二、填空题： 题号91011121314答案（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解： （）函数的最小正周期为， 函数的最小值为 6分（）由得 所以 又因为，所以， 所以或 所以或 13分16. （本小题满分13分）解：（）因为，所以.所以. 因为，所以. 6分 （）因为所以.因为.，所以
6、.当且仅当时等号成立. 所以的最大值为 13分17. （本小题满分13分）解：（）等差数列的公差为，则解得，则，. 5分（）当时， ，当时，.则时，；时，.即. 13分18. （本小题满分14分）解：（）若函数的图象与轴无交点，则方程 的判别式，即，解得. 3分（）的对称轴是，所以在上是减函数，在上存在零点，则必有：，即，解得：，故实数 的取值范围为； 8分（）若对任意的，总存在，使，只需函数的值域为函数值域的子集.当时，的对称轴是，所以的值域为， 下面求，的值域，当时，不合题意，舍当时，的值域为，只需要，解得当时，的值域为，只需要，解得综上：实数的取值范围或 14分19. （本小题满分14分
7、）解:（） 依题意，的定义域为，.（）若，当时，为增函数.()若,恒成立，故当时，为增函数.（）若,当时，为增函数；当时，为增函数. ()若,当时，为增函数；当时，为增函数.综上所述，当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,；当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递增区间是,. 6分（）依题意，若过两点的直线的斜率恒大于，则有，当时，即；当时，即.设函数，若对于两个不相等的正数，恒成立，则函数在恒为增函数，即在上，恒成立.解法一：(1)当时，当，说明此时不恒成立；或，说明此时不恒成立；(2)当时，在上恒成立；(3)当时，若恒成立，而当时，（ 当且仅当时取等号）即成立，即，
8、解得，即，显然符合题意.综上所述，时，过两点的直线的斜率恒大于.解法二：在上，恒成立，等价于，在成立，即在成立.（）当时，上式显然满足；（）当时，上式等价于，设，此时为减函数，只需；（）当时，上式等价于，设，则 ，当时，（当且仅当时等号成立）.则此时.在上，当时，成立. 过两点的直线的斜率恒大于. 解法三：在上，恒成立，等价于在恒成立，则有（1）时，即，所以 或（2）时，需且，即显然不成立.综上所述，. 14分20. （本小题满分13分）解：（）依题意，相加得，又，则，.“4项相关数列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一）3分参考：（“4项相关数列”共6对： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （）不存在理由如下：假设存在 “15项相关数列”，则，相加，得又由已知，由此，显然不可能，所以假设不成立。从而不存在 “15项相关数列” 7分（）对于确定的，任取一对 “项相关数列”，令，先证也必为 “项相关数列” 因为又因为，很显然有，所以也必为 “项相关数列”再证数列与是不同的数列假设与相同，则的第二项，又，则，即，显然矛盾从而，符合条件的 “项相关数列”有偶数对 13分
