1、吉林省公主岭市两地六校2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得,再由交集的定义求解即可【详解】由题,所以,故选：D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,属于基础题2.函数的零点所在的区间是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.3.已知，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数、对数函数
2、的性质可知,即可得到结果【详解】由题,所以,故选:D【点睛】本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键4.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】使函数式有意义，即，求解【详解】由得所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的定义域，即求使函数有意义的取值范围求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零；(4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数ytan x的定义域为；(6)x0中x0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求5.函数的单调递增区间为（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】设，可得函数在单调递减，在单调递增，又由函数，满足，解得或，根据复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，二次函数图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记对数函数和二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式，可求得答案.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查诱导公式的应用求值，考查运算求解能力，求解时
4、注意符号的正负.7.函数的大致图象为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，特殊值及取值范围进行辨析，排除可得.【详解】因为，所以为偶函数，排除A；因为，所以排除B；因为，所以排除D.故选：C【点睛】此题考查函数图象的辨析，利用函数性质和特殊值辨析，常用排除法解题.8.在中，点为线段中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据题意绘出三角形，然后根据以及得出、，再然后通过点为线段的中点得出，最后根据向量的三角形法则对进行转化，即可得出结果.【详解】如图，结合题意可绘出，因为，所以，因为点为线段的中点，所以，故，故选：A.【点睛
5、】本题考查平面向量的线性运算，主要考查了向量的三角形法则，即，考查推理能力，考查化归与转化思想，是简单题.9.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，因为是奇函数，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基
6、础题.10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.函数的部分图象如图所示,BCx轴当时,若不等式恒成立,则m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两点的对称性求得的一条对称轴方程，由此结合的周期性求得的值，结合求得，进而求得的解析式，利用分离常数法化简，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】因为,所以的图像的一条对称轴方程为
7、,所以.由于函数图像过，由,且,得,所以.，等价于,令,.由,得,的最大值为,所以.故选：A【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数可由向左平移两个单位得到，分析的奇偶性、单调性，可得的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得.【详解】解：由题意知的图像是由的图像向左平移两个单位长度得到，而是定义域为的偶函数，因为函数与在上单调递增，且，所以在上单调递减，所以的定义域为，关于对称，
8、并且在上单调递减，所以等价于且，即，故或.故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题.二、填空题13.已知向量，则_.【答案】【解析】【分析】根据向量模的坐标表示，直接计算可得结果.【详解】由，则故答案为：【点睛】本题考查向量模的坐标运算，关键在于掌握计算公式，属基础题.14.函数的最小值是_.【答案】【解析】【分析】先求得定义域,再根据函数的单调性求得最小值【详解】由题,可得,所以的定义域是,因为单调递增,单调递减,所以单调递增,所以当时,取得的最小值是,故答案为:【点睛】本题考查利用函数的单调性求函数的最值,求最值时需注意函数的定义域15.已知是定义在上的奇函数
9、，当时，.若，则_.【答案】-2【解析】【分析】由奇函数定义由求出，从而可求得，而，再求出即可【详解】因为是奇函数，所以，可得.所以当时，所以.又，所以.故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，由奇函数的定义求函数值，属于基础题16.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由正弦二倍角角公式化简，作出分母为1的分式，分母1用代换化为关于的二次齐次式，再化为求值【详解】.故答案为：【点睛】本题考查正弦的二倍角公式和同角间的三角函数关系考查“1”的代换解题时注意关于的齐次式的化简求值方法三、解答题17.计算或化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运
10、算即可；（2）直接利用对数运算性质即可得出.【详解】（1）原式 . （2）原式 .【点睛】本题主要考查了指数对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.已知是定义在上的奇函数,且.（1）求的解析式；（2）判断在上的单调性,并用定义加以证明.【答案】(1) (2) 在上单调递增.见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质以及，列式求得的值，进而求得函数解析式.（2）利用单调性的定义，通过计算，证得在上递增.【详解】（1）为奇函数,.由,得, . （2）在上单调递增. 证明如下:设,则 , ,在上单调递增.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函
11、数的单调性，属于基础题.19.已知向量，向量，函数.（1）求在上的单调递增区间；（2）令，求的最大值.【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）由平面向量数量积运算,结合辅助角公式化简,即可求得.根据正弦函数单调递增区间,即可求得在上的单调递增区间;（2）根据解析式即可求得解析式.根据,结合正弦函数的图像与性质即可求得的最大值.【详解】（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式化简可得.令,即,.因为,所以的单调递增区间为,.（2）由（1）可知,代入可得.因为,所以,当,即时,的最大值为.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,正弦函数单调区间的求法,正弦函数图像与性质的应用,属于
12、基础题.20.已知二次函数,且.(1)求的解析式;(2)若在上的最大值为-1,求的值以及的最小值.【答案】(1);(2), .【解析】分析】（1）将函数代入等式化简得到答案.（2），讨论和两种情况分别计算得到答案.详解】(1)由,得,所以,所以,故.(2).当,即时,得,此时的图象的对称轴为,.当,即时,得,无解.综上所述：,的最小值为.【点睛】本题考查了函数的解析式，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的综合应用.21.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改
13、良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1） （2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,所以
14、当时,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,整理得,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.22.已知函数，且函数是偶函数.（1）求的解析式；.（2）若不等式在上恒成立，求n的取值范围；（3）若函数恰好有三个零点，求k的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2）；（3），该函数的零点为0，2.【解析】【分析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.【详解】(1),是偶函数,. ,. (2)令,不等式在上恒成立,等价于在上恒成立, . 令,则,. (3)令,则,方程可化为,即,也即. 又方程有三个实数根,有一个根为2,. ,解得或.由,得,由,得,该函数的零点为0,-2,2.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.
