1、单元质量评估(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016蚌埠高二检测)已知两条相交直线a，b，a平面，则b与平面的位置关系是()A.b平面B.b平面C.b平面D.b与平面相交，或b平面【解析】选D.直线a显然不可能在平面内，平行与相交都有可能，故选D.2.下列叙述中，正确的是()A.四边形是平面图形B.有三个公共点的两个平面重合C.两两相交的三条直线必在同一个平面内D.三角形必是平面图形【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形；B中两个相交平面的交线上有无数个公共点；C中若三条直线有一个
2、公共点，可得三条直线不一定在一个平面内，故A，B，C不正确，D正确.3.(2016浙江高考)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.mlB.mnC.nlD.mn【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,=l,所以l,因为n,所以nl.4.(2016银川高一检测)空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选D.取AC中点E，连接BE，DE，因为AB=AD=AC=CB=CD=BD，所以AC垂直于BE，也垂直于DE，所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD.5.如图，在
3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A.C1D1B1CB.BD1ACC.BD1B1CD.ACB1=60【解析】选C.因为C1D1平面B1C，B1C平面B1C，所以C1D1B1C，所以A选项正确；由于AC平面BDD1，所以BD1AC，B选项正确；因为三角形AB1C为等边三角形，所以ACB1=60，即D选项正确.由于BD1与B1C是异面直线，所以C错.6.(2016鞍山高一检测)设，是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A.若l，则lB.若l，则lC.若l，则lD.若l，则l【解析】选C.若l，则l或l，故A不正确；若l，则l或l，故B不正确；若l，则l，故C正
4、确；若l，则l或l或l，故D不正确.7.(2016衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=AC，AC1A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：C1M平面A1ABB1，A1BNB1，平面AMC1平面CBA1，其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选D.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以平面A1B1C1平面ABB1A1，因为BC=AC，所以B1C1=A1C1，又因为M为A1B1的中点，所以C1MA1B1，因为平面A1B1C1平面ABB1A1=A1B1，所以C1M平面ABB1A1，故正确；由知，C1MA1B，又因为AC1A1B，C1M
5、AC1=C1，所以A1B平面AMC1，所以A1BAM，因为M，N分别是A1B1，AB的中点，所以ANB1M是平行四边形，所以AMNB1，因为A1BAM，所以A1BNB1，故正确；由知A1B平面AMC1，又因为A1B平面CBA1，所以平面AMC1平面CBA1，故正确，综上所述，正确结论的个数为3.8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等【解析】选D.A.由题意及图形知，AC面DD1B1B，故可得出ACBE，此命题正确，不
6、符合题意；B.EF平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF平面ABCD，此命题正确，不符合题意；C.三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确，不符合题意；D.由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积相等不正确，故D是错误的.9.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异
7、面直线AD与CB1所成的角为60【解析】选D.由于BDB1D1，易知BD平面CB1D1；连接AC，易证BD面ACC1，所以AC1BD；同理可证AC1B1C，因为BDB1D1，所以AC1B1D1，所以AC1平面CB1D1；对于选项D，因为BCAD，所以B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45，故D错.10.在四面体ABCD中，已知棱AC的长为，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.因为AC=，其余各棱长均为1，故ABBC，ADDC，取CD，AC的中点分别为E，F，连接EF，BF，BE，则EFAD，所以EFCD.且EF=AD=，BF=AC=，BECD
8、，且BE=，所以FEB为二面角A-CD-B的平面角，在BEF中，BE2=BF2+EF2，所以BEF为直角三角形，所以cosFEB=.11.(2016全国卷)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.如图所示:因为平面CB1D1,所以若设平面CB1D1平面ABCD=m1,则m1m.又因为平面ABCD平面A1B1C1D1,结合平面B1D1C平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1m1,故B1D1m.同理可得:CD1n.故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即
9、CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此CD1B1=,即sinCD1B1=.12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N分别为A1B，B1C1的中点.下列结论中正确的个数有()直线MN与A1C相交.MNBC.MN平面ACC1A1.三棱锥N-A1BC的体积为=a3.A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.由三视图可知，该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E，连ME，NE，则MEA1C，NEC1C，故平面MNE平面ACC1A1，故MN平面ACC1A1，所以直线MN与A1C相交错误，故正确，错误.因为三棱柱ABC-A1B
10、1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故BC平面MNE，所以MNBC，正确.=aaa=a3，故正确.所以正确.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点.给出以下四个结论：直线AM与直线C1C相交；直线AM与直线DD1异面；直线AM与直线BN平行；直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为_(填入所有正确结论的序号).【解析】由异面直线判定定理知：直线AM与直线CC1异面；直线AM与直线DD1异面；直线BN与直线MB1异面，因为直线BN与直线AE平行(E为DD
11、1的中点)，所以直线AM与直线BN异面.答案：14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA平面ABCD，在BC边上取点E，使PEDE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是_.【解析】由题意知：PADE，又PEDE，PAPE=P，所以DE面PAE，所以DEAE.易证ABEECD.设BE=x，则=，即=.所以x2-ax+9=0，由0，解得a6.答案：a615.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，点M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).【解题指南】可以证明BDPC，因此只需确定M的位置，使BM
12、PC即可.(DMPC也可).【解析】因为四边形ABCD的边长相等，所以四边形ABCD为菱形，所以ACBD，又因为PA平面ABCD，所以PABD，所以BD平面PAC，所以BDPC.若PC平面BMD，即PC垂直于平面BMD中两条相交直线，所以当BMPC时，PC平面BMD，所以平面PCD平面BMD.答案：BMPC(其他合理即可)16.(2016成都高二检测)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将ABE沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VB-ACE的体积是a2；平面ABC平面ADC；直线EA与平面ADB
13、所成角为30.其中正确的有_.(填写你认为正确的序号)【解析】由题意，AB=BC，AE=a，AD平面BCDE，AD=a，AC=a，由于BCDE，所以ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=a，BC=a，AC=a，所以BCAC，所以tanABC=，故正确；由图象可知AB与CE是异面直线，故错误.VB-ACE的体积是SBCEAD=a3=a3，故错误；因为AD平面BCDE，BC平面BCDE，所以ADBC，因为BCCD，ADCD=D，所以BC平面ADC，因为BC平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故正确；连接CE交BD于F，则EFBD，因为平面ABD平面BDE，所以EF平面ABD，连接AF，
14、则AFE为直线AE与平面ABD所成角，在AFE中，EF=a，AE=a，所以sinEAF=，则EAF=30，故正确.答案：三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBD=P，A1C1EF=Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面.(2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线.【证明】(1)连接B1D1.因为E，F分别为D1C1，C1B1的中点，所以EFB1D1，又因为B1D1BD，所以EFBD，所以EF与BD共面，所以E，F，B，D四点共面.
15、(2)因为ACBD=P，所以P平面AA1C1C平面BDEF.同理，Q平面AA1C1C平面BDEF，因为A1C平面DBFE=R，所以R平面AA1C1C平面BDEF，所以P，Q，R三点共线.18.(12分)(2016菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点.(1)求证：OE平面BCC1B1.(2)若AC1A1B，求证：AC1BC.【解析】(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OEBC1，因为OE平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，所以O
16、E平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1A1C，因为AC1A1B，A1CA1B=A1，A1C平面A1BC，A1B平面A1BC，所以AC1平面A1BC，因为BC平面A1BC，所以AC1BC.19.(12分)如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，ADBC，CEBG，且BCD=BCE=90，平面ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG.(1)求证：ECCD.(2)求证：AG平面BDE.【证明】(1)由平面ABCD平面BCEG，平面ABCD平面BCEG=BC，CEBC，CE平面BCEG，所以EC平面ABCD，又CD平面ABCD，故ECCD.(2)在平面B
17、CEG中，过G作GNCE交BE于M，连接DM，则由已知知，MG=MN，MNBCDA，且MN=AD=BC，所以MGAD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，所以AGDM，因为DM平面BDE，AG平面BDE，所以AG平面BDE.20.(12分)(2016泰安高一检测)如图，PA平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC，PA=AB=BC.(1)求证：平面AEF平面PBC.(2)求二面角P-BC-A的大小.【解题指南】(1)要证平面AEF平面PBC，可通过证明AE平面PBC得出，而要证AE平面PBC，已有AEPB，则证出BCAE即可，后者利用BC平面PAB可以证出.(2)由(1)知，BC平面PA
18、B，PBA就是二面角P-BC-A的平面角，易知为45.【解析】(1)因为PA平面ABC，又BC平面ABC，所以PABC，又ABBC，AB与PA相交于点A，所以BC平面PAB，又AE平面PAB，所以BCAE，又AEPB，而PB与BC相交于点B，所以AE平面PBC，又AE平面AEF，故平面AEF平面PBC.(2)由(1)知，BC平面PAB，PB平面PAB，所以PBBC，又ABBC，所以PBA就是二面角P-BC-A的平面角，在RtPAB中，因为PA=AB，所以PBA=45，即二面角P-BC-A的大小为45.21.(12分)(2016北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,
19、DCAC.(1)求证:DC平面PAC.(2)求证:平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.【解析】(1)因为PC平面ABCD,DC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,PCAC=C,PC,AC平面PAC,所以DC平面PAC.(2)因为ABDC,DC平面PAC,所以AB平面PAC.又因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.因为E为AB中点,所以PAEF.又因为PA平面CEF,EF平面CEF,所以PA平面CEF.因此,当F为PB中点时,PA平面CEF.22.(12分)如图，已知直角梯
20、形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，BAC=ACD=90，EAC=60，AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP平面EAB？请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，则FPAC，FP=AC，取AC的中点M，连接EM，EC，因为AE=AC且EAC=60，所以EAC是正三角形，所以EMAC.所以四边形EMCD为矩形，所以ED=MC=AC.又因为EDAC，所以EDFP且ED=FP，所以四边形EFPD是平行四边形，所以DPEF，而EF平面EAB，DP平面EAB，所以DP平面EAB.(2)过C作CGAB，过B作BGAC，CGBG=G，连接GD.因为EDAC，所以EDBG，所以B，E，D，G四点共面，所以平面EBD与平面ABC相交于BG，因为CDAC，平面ACDE平面ABGC，所以CD平面ABGC，又因为BG平面ABGC，所以BGCD，又BGGC，CDGC=C，所以BG平面CDG，所以BGDG，所以DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角，设AB=AC=AE=a，则GC=AB=a，DC=EM=a，所以GD=a，所以cos=cosDGC=.
