1、第三章导数及其应用3.1导数与积分考点一导数的概念及其几何意义11.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.答案2x-y+1=0解析易知y=3x2-1,y=x3-x+3在点(1,3)处的切线的斜率k=2,切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.评析本题考查导数的几何意义及直线方程,考查运算求解能力.12.(2012辽宁,21,12分)设f(x)=ln(x+1)+ax+b(a,bR,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(1)求a,b的值;(2)证明:当0x2时, f(x)0时,2x+1+1=x+2,故+1.记h(x)=
2、f(x)-,则h(x)=+-=-=.令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0x2时,g(x)=3(x+6)2-2160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又g(0)=0,故g(x)0,所以h(x)0.(10分)因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,故h(x)0.于是当0x2时, f(x)0时,2x+1+1=x+2,故0时,k(x)=-1=0,故k(x)0,即ln(x+1)0时, f(x)x.记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0x2时,h(x)=f(x)+(x+6)f (x)-9x+(x+6)-9=3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)3x(x+
3、1)+(x+6)3+-18(x+1)=(7x-18)0.(10分)因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)0,即f(x).(12分)评析本题考查了导数的概念及运算,考查导数的几何意义及应用,考查构造法.考点二定积分的运算及应用12.(2012湖北,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为()A.B.C.D.答案B由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx=2(-x2+1)dx=2=2=.故选B.评析本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.13.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.答案3解析x2dx=9,解得T=3.14.(2013福建,15,5分)当xR,|x|1时,有如下表达式:1+x+x2+xn+=.两边同时积分得:答案解析+x+x2+xn=(1+x)n,两边同时积分得:+xdx+x2dx+xndx=(1+x)ndx,从而得到如下等式:+=.15.(2012江西,11,5分)计算定积分(x2+sin x)dx=.答案解析(x2+sin x)dx=.评析本题考查了定积分的运算.
