1、山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.若复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析:由复数的模长公式计算出等式右边，再把复数变形，利用复数代数形式的乘除运算计算出z，进而得到虚部详解：由题意得，所以z的虚部为.故本题答案为B点睛：本题主要考查复数的概念，复数的模长公式以及复数代数形式的四则运算，属于基础题2.给出一个命题p：若，且，则a，b，c，d中至少有一个小于零，在用反证法证明p时，应
2、该假设（ ）A. a，b，c，d中至少有一个正数B. a，b，c，d全为正数C. a，b，c，d全都大于或等于0D. a，b，c，d中至多有一个负数【答案】C【解析】【分析】由“中至少一个小于零”的否定为“全都大于等于”即可求解.【详解】因为“a，b，c，d中至少有一个小于零”的否定为“全都大于等于”,所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“全都大于等于”,故选：C.【点睛】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.3.设为随机变量，且，若随机变量的方差，则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】随机变量满足二项分布，所以n=6,所以，选D.4.下列有关线性回归分析四
3、个命题：线性回归直线必过样本数据的中心点；回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；当相关性系数时，两个变量正相关；如果两个变量的相关性越强，则相关性系数就越接近于.其中真命题的个数为（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】分析：根据线性回归方程的几何特征及残差,相关指数的概论,逐一分析四个答案的正误,可得答案.详解：线性回归直线必过样本数据的中心点（）,故正确;回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点,故错误;当相关性系数时,则两个变量正相关,故正确;如果两个变量的相关性越强,则相关性系数r就越接近于1或-1,故错误.故真命题的个数为2个,所以B选项是正确的点睛：本
4、题以命题的真假判断为载体,考查了相关关系,回归分析,相关指数等知识点,难度不大,属于基础题.5. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为()A. 18B. 24C. 30D. 36【答案】C【解析】四名学生中有两名分在一所学校的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一所学校的有种，故不同的安排方法种数是30.6.两圆，的公共区域的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，将圆的极坐标方程化为
5、直角坐标方程，画出图形，根据几何关系求面积即可.【详解】解：以极点为原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，则，化为直角坐标为：，如图所示，所以公共区域的面积为.故答案为C.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查扇形面积的求法，属于基础题.7.已知(1ax)(1x)5展开式中x2的系数为5，则aA. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【详解】由题意知：，解得，故选D.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.8.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓
6、展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()A. B. C. D. 【答案】B【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r，连接球心与正四面体的四个顶点把正四面体分成四个高为r的三棱锥，所以4Sr=Sh，r=h（其中S为正四面体一个面的面积，h为正四面体的高）故选B点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）9.篮子里装有2个红球，3个白球和4
7、个黑球某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：事件A的选法有种，事件B的选法有，所以故选B考点：条件概率点评：求条件概率，只要算出事件B和事件A的数量，然后求出它们的商即可10.已知曲线的极坐标方程为：，为曲线上的动点，为极点，则的最大值为（）A. 2B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离求得答案【详解】因为，所以， ，即圆心为（1，-2），半径，因为点O到圆上的最大距离，等于点O到圆心的距离d加上半径r，且，所以的最大值为，故选D【点
8、睛】本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法11.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，则在这个子数中第2014个数是（ ）A. 3965B. 3966C. 3968D. 3989【答案】A【解析】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前次共取了个数，且第次取的最后一个数为当时，故第63次取时共取了2016个数，都为奇
9、数，并且最后一个数为，即第2016个数为，所以第2014个数为3965选A点睛：解答本题时要用归纳推理的方法从中找出数字递增的规律，第n组有连续个奇数或偶数构成，其中每组中数的奇偶性与组数n的奇偶性相同，然后确定出第n次取后得到的数的总数及每组数的最后一个数的规律性，然后通过尝试的方法并利用所得规律解题12.若函数在区间内有且仅有一个极值点，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求导得到，令，.当时， 为增函数，无极值点，舍去.当时，根据函数在区间内有且仅有一个极值点，得到或，再分类讨论函数的单调性和极值即可得到答案.详解】，令，.当时，为增函数，无极值点，舍
10、去.当时，函数在区间内有且仅有一个极值点，所以或.当时，即.，为增函数，为减函数.所以函数有极大值点.当时，即.，为增函数，为减函数.所以函数有极大值点.综上：的取值范围.故选：B【点睛】本题主要考查导数中的极值问题，分类讨论为解决本题的关键，属于中档题.第II卷二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.某校期末测试理科数学成绩，统计结果显示，若学校理科学生共700人，则本次测试成绩高于120分学生人数为_.【答案】70【解析】【分析】先求出,再求出本次测试成绩高于120分的学生人数.【详解】由题得，所以=0.5-0.4=0.1.所以本次测试成绩高于120分的学生人数为7000.
11、1=70.故答案为70【点睛】本题主要考查正态分布概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_【答案】112【解析】由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有种答案：11215.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 【答案】180【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【详解】由题意可得只有第六项的二项式系数最大，n10故展开式的通项公式为T
12、r+12rx2r2r，令0，求得r2，故展开式中的常数项是 22180，故答案为180【点睛】本题考查了二项式系数与二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题16.由函数的图像在点处的切线直线直线（其中是自然对数的底数）及曲线所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积_.【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线的方程，利用定积分计算出阴影部分的面积.【详解】，所以切线的方程为：.故阴影部分面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查切线方程的计算，考查定积分计算面积，属于中档题.三.解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正
13、半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）经过点作直线交曲线于，两点，若恰好为线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由，得即可得直角坐标方程；（2）直线的方程为，利用得求解即可【详解】（1）由，得，根据公式，得，故曲线的直角坐标方程是.（2）设直线的斜率为，则直线的方程为.而曲线：化为标准方程是，故圆心.因为恰好为线段的中点，所以.所以，即，解得.故直线的方程是，即.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的转化，考查圆的几何性质，根据恰好为线段的中点转化为是关键，是基础题18.某单位为绿化环境，移栽
14、了甲、乙两种大树各株设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响求移栽的株大树中：（1）两种大树各成活株的概率；（2）成活的株数的分布列【答案】；见解析【解析】【分析】（1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相乘即可（2）的所有可能值为0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可【详解】解：设表示甲种大树成活株，表示乙种大树成活株，则，独立由独立重复试验中事件发生的概率公式有，据此算得，所求概率为的所有可能值为0，1，2，3，4，且，综上知有分布列01234P【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、独立重复试验的概率等知
15、识，以及利用概率知识分析问题、解决问题的能力19.已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4()求a，b的值；()讨论f(x)的单调性【答案】(1)a4，b4;(2)见解析.【解析】试题分析：（）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y=f（x）在点（0，f（0）处切线方程为y=4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；（）利用导数的正负，可得f（x）的单调性试题解析：(1)f(x)ex(axab)2x4， 由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8 从而a4，b4 由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x
16、2) 令f(x)0得，xln 2或x2 当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0 故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性20.每年春晚都是万众瞩目的时刻，这
17、些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步.国家的富强，人民生活水平的提高等.某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生（其中文科学生50，理科学生50名），进行了调查.统计数据如表所示（不完整）：“思考过”“没有思考过”总计文科学生4010理科学生30总计100（1）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有的把握认为看春晚后会思考节目体现的文化内涵、历史背景等与文理科学生有关；（2）现从上表的”思考过”的文理科学生中按分层抽样选出7人.再从这7人中随机抽取4人，记这4人中“文科学生”的
18、人数为,试求的分布列与数学期望；现设计一份试卷（题目知识点来自春晚相关知识整合与变化），假设“思考过”的学生及格率为，“没有思考过”的学生的及格率为.现从“思考过”与“没有思考过”的学生中分别随机抽取一名学生进行测试，求两人至少有一个及格的概率.附参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有；（2）见解析；.【解析】【分析】（1）根据题意，得出的列联表，利用公式求的的值，即可得出结论；（2）由题意，得出所以的所有可能取值为，取得随机变量取每个值对应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解设“思考过”的学生的及格率；
19、“没有思考过”的学生的及格率，根据独立事件的概率计算公式，即可求解【详解】（1）填表如下：“思考过”“没有思考过”总计文科学生401050理科学生302050总计7030100由上表得，的观测值，故有的把握认为看春晚节目后是否会思考与文理科学生有关. （2）由题意，得抽取的100名学生中“思考过”的有文科学生40人，理科学生30人，所以抽取7人中文科学生有4人，理科学生有3人，所以的所有可能取值为1，2，3，4. ，,所以的分布列为1234P故数学期望为.设“思考过”的学生的及格率为，则；“没有思考过”的学生的及格率为，则，所以两人至少有一个及格的概率为.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用
20、，以及随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，求得随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题21.已知数列的前n项和为，且（1）求的通项公式（2）设，数列的前n项和为，求证：【答案】(1);(2)见解析【解析】【分析】(1) 由,得,当时,可得,然后两式相减得,可得为各项为1的常数数列,从而可求得.(2)先得,再放缩 ,然后利用裂项求和可证.【详解】(1)由,得 ,当时,可得,两式相减得: ,即,又 可得,所以,所以为常数数列,所以,所以.(2)由 ,得,所以,当时,成立;当时, ,所以 . 所以时, .【点睛】本题考查了用放缩法和列项求和法证明不等式
21、,属中档题.22.已知函数.（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的零点，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）参变分离，由对任意恒成立，得对任意恒成立. 令，利用导数求出的最大值，即可求出的取值范围.（2）若函数的两个零点为，不妨设设，根据函数的单调性可得，要证，即证.只需证明.由，只需证明.令，求导分析函数的单调性，进而可得：【详解】（1）解：由对任意恒成立，得对任意恒成立.令，则.令，则.在上，单调递增；在上，单调递减.，则，即的取值范围为.（2）证明：设，则.在上，单调递增；在上，单调递减.，当时，且，要证，即证.，在上单调递减，只需证明.由，只需证明.令，.，在上单调递增，即，【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，最值，函数零点的存在性及个数判断，难度中档
