1、1.3简单旋转体球、圆柱、圆锥和圆台 (15分钟25分)1.圆柱的母线长为10,则其高等于()A.5B.10C.20D.不确定【解析】选B.圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.2.如图,将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A.圆锥B.圆锥和球组成的简单组合体C.球D.一个圆锥内部挖去一个球后得到的简单几何体【解析】选D.三角形旋转一周形成圆锥,三角形中的圆旋转一周形成一个球,故选D.3.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是_.【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.答案:两个同底的圆锥组合体4.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那
2、么这个几何体可能是下面哪几种:_(填序号).棱柱;棱锥;棱台;圆柱;圆锥;圆台;球.【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥.答案:5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面,则该圆锥的高为_.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则4=l2,所以母线长l=2,又半圆的弧长为2,圆锥的底面的周长为2r=2,所以底面圆半径r=1,所以该圆锥的高h=.答案: (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图所示的几何体的结构特征是()A.一个棱柱中截去一个棱柱B.一个棱柱中截去一个圆柱C.一个棱柱中截去一个棱锥D.一个棱柱中截去一个棱台【解析】选C.图中几何体可看成是四棱柱截去一个角
3、,即截去一个三棱锥后得到的简单几何体,故为一个棱柱中截去一个棱锥所得.2.上、下底面面积分别为36和49,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为()A.4B.3C.2D.2【解析】选D.圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的母线长为()A.4B.2C.3D.【解析】选B.如图所示,设等边三角形ABC为圆锥的轴截面,由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长且SABC=AB2,所以=AB2,所以AB=2.4.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱
4、的底面半径是()A.2B.2C.或D.或【解析】选C.如图所示,设底面半径为r,若矩形的长恰好为卷成圆柱底面的周长,则2r=8,所以r=;同理,若矩形的宽恰好为卷成圆柱的底面周长,则2r=4,所以r=.【误区警示】旋转体特别是圆柱一定要找准母线和底面半径,在将硬纸卷起时容易忽略分类讨论.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示的图形中有()A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台【解析】选ABC.根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台.6.下列命题中正确的是().A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆;B.球
5、的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径;C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面;D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合.【解析】选BC.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故A错;B正确;C正确;球是几何体,而D描述的是球面的概念.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为_(用Q表示).【解析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.所以4r2=Q,解得r=,所以此圆柱的底面半径为.答案:【补偿训练】 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,且其面积是Q,则此圆柱的底面半径为_(用Q表示).【解
6、析】设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r.所以42r2=Q,解得r=,所以此圆柱的底面半径为.答案:8.在RtABC中,AB=3,BC=4,ABC=90,则ABC绕边AB所在的直线旋转一周所得空间图形是_,母线长l=_.【解析】所得几何体是圆锥,母线长l=AC=5.答案:圆锥5四、解答题(每小题10分,共20分)9.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,设圆台的高为h cm,由条件可得圆台上底面半径r=2 cm,下底面半径r=5 cm.(1)由勾股定理得h=3(cm
7、).(2)设圆锥的母线长为x,由三角形相似得:=,解得x=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.10.如图所示,圆台母线AB长为20 cm,上、下底面半径分别为5 cm和10 cm,从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点,求这条绳长的最小值.【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示,由其轴截面中RtOPA与RtOQB相似,得=,可求得OA=20 cm.设BOB=,由于的长与底面圆Q的周长相等,而底面圆Q的周长为210 cm.扇形OBB的半径为OA+AB=20+20=40 cm,扇形OBB所在圆的周长为240=80 cm.所以的长度20 cm为所在圆周长的.所以OBOB.所以在RtBOM中,BM2=402+302,所以BM=50 cm,即所求绳长的最小值为50 cm. 如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面圆的直径构成边长为6 m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)【解析】因为ABC为正三角形,所以BC=6,所以圆锥底面周长=23=6(m),根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得: =6,故n=180,则BAC=90,所以BP=3(m),所以小猫所经过的最短路程是3m.
