1、天津一中2015-2016-2高三数学（理）第三次考前冲刺热身试卷本试卷共三道大题，共150分，考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求(1) 设集合,则( ). (A) (B) (C) (D) (2) 设变量满足约束条件且目标函数的最大值是,则等于( ).否开始结束是(A) (B) (C) (D) (3) 某程序框图如图所示,其中N*,若程序运行后,输出的结果是( ).(A) (B) (C) (D) (4) 函数(,且)有且仅有两个零点的充要条件是( ).(A) (B) (C) (D) (5) 如图,在半径为的圆中,为
2、的中点,的延长线交圆于点,则线段的长为( ). (A) (B) (C) (D) (6) 已知离心率为的双曲线()的两条渐近线与抛物线()的准线分别交于、两点,是坐标原点.若的面积为,则抛物线的方程为( ).(A) (B) (C) (D) (7) 已知为R上的减函数,则满足的实数的取值范围是( ). (A) (B) (C) (D) (8) 已知函数 若,则的取值范围是( ).(A) (B) (C) (D) 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上(9) i是虚数单位,复数满足,则 .(10) 一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm.(11)
3、 由曲线、直线和及轴围成的封闭图形的面积等于 .(12) 在的展开式中,的系数为 .(13) 在中,内角的对边分别为,若,则角的值为 .(14) 如图,在三角形中,为边上的点,且,则 .三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(15) (本小题满分13分)已知函数,R.() 求函数的最小正周期；() 求函数在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)某单位举行联欢活动,每名职工均有一次抽奖机会,每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球,已知甲箱中装有3个红球, 5个绿球,乙箱中装有3个红球, 3个绿球, 2个黄球.在摸出的2个球中,若都是红球,则
4、获得一等奖；若都是绿球,则获得二等奖；若只有1个红球,则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球,则不获奖.() 求每名职工获奖的概率；() 设为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和,求的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图,在四棱锥中,平面,且底面为直角梯形,.已知,. () 求证:平面平面；() 设为上的点,且,求证:平面；() 在()的条件下,求二面角的余弦值.(18) (本小题满分13分)在数列中,其前项和满足.() 求的通项公式；() 若,求.(19) (本小题满分14分)已知椭圆的离心率,为椭圆上的点.() 求椭圆的方程；() 若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂
5、直平分线过定点,求实数的取值范围.(20) (本小题满分14分)设函数.() 当时,求的最大值；() 令,其图象上任意一点处的切线的斜率恒成立,求实数的取值范围；() 当时,方程有唯一实数解,求正实数的值.数学（理）第三次冲刺热身参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分(1) A 提示：因为,所以.故选择(A) .(2) B 提示：如图,当时,可行域是一个开放区域,则目标函数不存在最大值,故,由解得 代入,解得.故选择(B).(3) D 提示：程序运行后,变量的取值为等差数列,依次为,对应的取值为该等差数列的前项和减去,依次为.故选择(D).(4) B 提示：函数(,且)有且
6、仅有两个零点等价于函数与函数(,且)有且仅有两个交点,由函数图象可知.故选择(B).(5) C 提示：如图,延长交圆于点,在Rt中,则,而,由相交弦定理,得.故选择(C).(6) C 提示：由已知可得双曲线的两条渐近线为,抛物线的准线为,则、两点的纵坐标分别为,依题意,则有,由双曲线的离心率为,可得,故,则,故.故选择(C).(7) D 提示：由为R上的减函数,得,当时,不等式恒成立,当时,不等式的解为,综上可得或.故选择(D).(8) A 提示：当时,所以化为,即. 因为, 所以恒成立, 即；当时,所以化为恒成立,由函数图象可知,综上,当时,不等式恒成立,故选择(A) .二、填空题：本大题6
7、小题，每小题5分，满分30分 (9) 提示：.(10) 提示：由三视图可以判断该几何体是一个“柱”体,是由一个底面半径为4的圆柱“挖去”一个底面半径为2的圆柱所得.其体积为(cm).(11) 提示：如图,所求面积为：.(12) 提示：由二项式定理,得,令,得,所以展开式中的系数为.(13) 提示：由,得,而,故,由正弦定理,得,由,得,故.(14) 提示：以,为一组基底,则有,故.三、解答题：本大题6小题，满分80分(15) 本题满分13分() 解: 因为 . 所以,的最小正周期.() 解: 因为在区间上单调递增,在区间上单调递减. ,. 所以,在区间上的最大值为,最小值为.(16) 本题满分
8、13分() 解:设表示“从甲箱中摸出1个绿球”, 表示“从乙箱中摸出1个黄球”, 依题意,没获奖的事件为,其概率,每名职工获奖为其对立事件,其概率.() 解:每名职工获得一等奖或二等奖的概率为,随即变量的所有可能取值为. 则,. 所以,随即变量的分布列为0123随即变量的数学期望.(17) 本题满分13分如图,以为原点建立空间直角坐标系,依题意可得,.() 证明:, ,. ,平面.平面, 平面平面.() 证明:,点的坐标为.,. 设平面的法向量为, 则有 令,可得,即.平面,平面.() 解: 设平面的法向量为,则有 令,可得.由()可知平面的法向量为,.即二面角的余弦值为.(18) 本题满分1
9、3分() 解:由,得, 由,可知,故. 当时,； 当时,符合上式,则数列的通项公式(N*).() 解:依题意, 则,N*. 设, 故,而. 两式相减,得, 故.(19) 本题满分14分() 解:依题意,得 解得 故椭圆的方程为.() 解:设, 由 消去,得, 依题意, 即, 而,则, 所以线段的中点坐标为. 因为线段的垂直平分线的方程为. 所以在直线上, 即. 故,则有, 所以,故. 解得或. 所以实数的取值范围是.(20) 本题满分14分() 解:依题意,可知函数的定义域为.当时, 令,解得或(舍去). 当时,单调递增；当时,单调递减. 所以的极大值即为的最大值.() 解:依题意, 则有在上恒成立, 所以. 当时,取得最大值,所以.() 解:当时, 因为方程有唯一实数解,即有唯一实数解, 设,则. 令,得. 因为,所以(舍去),. 当时,单调递减；当时,单调递增； 当时,取得最小值. 因为有唯一解,所以. 则 即 所以. 因为,所以. 令,则, 因为当时,是增函数,所以至多有一解. 因为,所以方程的解为, 即,解得.
