1、第4节三角函数的图象与性质 选题明细表知识点、方法题号定义域、值域2,4,6,7三角函数的图象与性质1,3,5,11,12综合应用8,9,10,13,14,15,16 (建议用时:20分钟)1.下列函数中,周期为的奇函数为(A)(A)y=sin xcos x(B)y=sin2x(C)y=tan 2x (D)y=sin 2x+cos 2x解析:y=sin2x为偶函数;y=tan 2x的周期为;y=sin 2x+cos 2x为非奇非偶函数,故B,C,D都不正确,故选A.2.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为a,b,则b-a的值是(B)(A)2(B)3(C)+2(D)2-解析:因为x,所以c
2、os x-1,故y=2cos x的值域为-2,1,所以b-a=3.故选B.3.若函数y=3cos(2x+)的图象关于点(,0)对称,则|的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得3cos(2+)=3cos(+2)=3cos(+)=0,所以+=k+,kZ,所以=k-,kZ.取k=0,得|的最小值为.故选A.4.已知函数f(x)=a(2cos2+sin x)+b,若x0,时,函数f(x)的值域是5,8,则ab的值为(A)(A)15-15或24-24(B)15-15(C)24-24(D)15+15或24+24解析:f(x)=a(1+cos x+sin x)+b=asin(x+)+a+b.
3、因为0x,所以x+,所以-sin(x+)1,依题意知a0.当a0时,所以a=3-3,b=5.当a0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则=.解析:因为f(x)=sin x(0)过原点,所以当0x,即0x时,y=sin x是增函数;当x,即x时,y=sin x是减函数.由f(x)=sin x(0)在0,上单调递增,在,上单调递减知,=,所以=.答案:6.设函数f(x)=3sin(x+),若存在这样的实数x1,x2,对任意的xR,都有f(x1)f(x)f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为.解析:f(x)=3sin(x+)的周期T=2=4,f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最
4、小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为=2.答案:27.函数y=的定义域为.解析:要使函数有意义必须有tan(x-)0,则所以x-,kZ,所以x+,kZ,所以原函数的定义域为x+,kZ.答案:x+,kZ8.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当x0,1)时,f(x)=lg(x+1),则f()+lg 14=.解析:因为当x0,1)时,f(x)=lg(x+1),所以f()=lg ,又因为函数f(x)是周期为2的奇函数,所以f()=f(-)=-f()=-lg ,所以f()+lg 14=lg 14-lg =lg 10=1.答案:19.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x.(1)求f(x)的最
5、小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在,上的单调性.解:(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).因此f(x)的最小正周期为,最大值为1.(2)当x,时,02x-,从而当02x-,即x时,f(x)单调递增.当2x-,即x时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在,上单调递增,在,上单调递减.10.已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x-,时,f(x)-.(1)解:f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin2x+,所以f(x)的最小正周期T=.(2)证明:因为-x,
6、所以-2x+,所以sin(2x+)sin(-)=-,所以当x-,时,f(x)-. (建议用时:25分钟)11.直线x=,x=都是函数f(x)=sin(x+)(0,-0,函数f(x)=sin(x+)在(,)上单调递减,则的取值范围是(A)(A),(B),(C)(0,(D)(0,2解析:由x,得+x+0,0,0)的最大值为3,f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),其相邻两条对称轴间的距离为2,则f(1)+f(2)+f(2 018)=.解析:因为函数f(x)=Acos2(x+)+1=A+1=cos(2x+2)+1+的最大值为3,所以+1+=3,所以A=2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2
7、,可得函数的最小正周期为4,即=4,所以=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),可得cos 2+1+1=2,所以cos 2=0,又0,所以2=,=.故函数f(x)的解析式为f(x)=cos(x+)+2=-sin x+2,所以f(1)+f(2)+f(2 017)+f(2 018)=-(sin +sin +sin +sin +sin )+22 018=5040-sin -sin +4 036=-1+4 036=4 035.答案:4 03514.已知函数f(x)=2sin(x+),设a=f(),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系是.解析:f(x)=2sin(x+2)=2si
8、n(x+),a=f()=2sin ,b=f()=2sin ,c=f()=2sin =2sin ,因为y=sin x在0,上单调递增,且,所以sin sin sin ,即cab.答案:cab15.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(xR).(1)求f()的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由sin=,cos=-,得f()=()2-(-)2-2(-)=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin(2x+),所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得
9、+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间是+k,+k(kZ).16.已知函数f(x)=2sin2(+x)-cos 2x-1,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若h(x)=f(x+t)的图象关于点(-.0)对称,且t(0,),求t的值;(3)当x,时,不等式|f(x)-m|3恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)因为f(x)=-cos(+2x)-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2(sin 2x-cos 2x)=2sin(2x-),故f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知h(x)=2sin(2x+2t-).令2(-)+2t-=k(kZ),得t=+(kZ),又t(0,),故t=或.(3)当x,时,2x-,所以f(x)1,2.又|f(x)-m|3,即f(x)-3mf(x)+3,所以2-3m1+3,即-1m4.故实数m的取值范围是(-1,4).
