1、第18讲导数的综合应用导数与不等式1能够构造函数利用导数证明一些简单的不等式和解某些不等式2会将恒成立问题及存在性问题转化为最值问题进行求解 知识梳理1如果不等式f(x)g(x)，xa，b恒成立，则转化为函数(x)f(x)g(x)在xa，b内的最小值0.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)2若f(x)0，xa，b，且x0(a，b)有f(x0)0，则f(x)0的x的取值范围为(x0，b)，f(x)m在xa，b上恒成立，则函数f(x)在xa，b的最小值m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”)若f(x)m在xa，b上恒成立，则函数f(x)在xa，b的最大值m在xa，b有解，则
2、函数f(x)在xa，b的最大值m.(填“最小值”“最大值”“极小值”或“极大值”) 热身练习1对于x0，)，则ex与1x的大小关系为(A)Aex1x Bex0，则必有(B)Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)与2f(1)的大小不确定 依题意，当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数；当x1时，f(x)f(1)，f(2)f(1)，所以f(0)f(2)2f(1)3已知定义在R上函数f(x)满足f(x)f(x)，且x0时，f(x)0的解集为(A)A(，0) B(0，)C(，1) D(1，) 因为f(x)是定义在R上的奇函数，
3、所以f(0)0，又x0时，f(x)0的解集为(，0)4若函数h(x)2x在1，)上是增函数，则实数k的取值范围是2，). 因为h(x)2，且h(x)在1，)上单调递增，所以h(x)20，所以k2x2，要使k2x2在1，)上恒成立，则只要k(2x2)max，所以k2.5设f(x)x2a，g(x)2x.(1)若x0,1，f(x)g(x)，则实数a的取值范围为3，)；(2)若x0,1，f(x)g(x)，则实数a的取值范围为0，). (1)F(x)f(x)g(x)x22xa(x0,1)则F(x)minF(1)3a.因为“若x0,1，f(x)g(x)”等价于“F(x)min0，x0,1”，所以3a0，解
4、得a3.所以实数a的取值范围为3，)(2)F(x)f(x)g(x)x22xa(x0,1)则F(x)maxF(0)a.因为“若x0,1，f(x)g(x)”等价于“F(x)max0，x0,1”，所以a0.所以实数a的取值范围为0，) 利用导数解不等式若f(x)的定义域为R，f(x)2恒成立，f(1)2，则f(x)2x4的解集为A(1,1) B(1，)C(，1) D(，) 令g(x)f(x)2x4，因为g(x)f(x)20，所以g(x)在(，)上是增函数，又g(1)f(1)2(1)40，所以f(x)2x4g(x)g(1)x1.所以f(x)2x4的解集为(1，) B 利用导数解不等式的基本方法：(1)
5、构造函数，利用导数研究其单调性；(2)寻找一个特殊的函数值；(3)根据函数的性质(主要是单调性，结合图象)得到不等式的解集1(2018遂宁模拟)已知f(x)为定义在(，0)上的可导函数，2f(x)xf(x)x2恒成立，则不等式(x2018)2f(x2018)4f(2)0的解集为(B)A(2020,0) B(，2020)C(2016,0) D(，2016) 构造函数F(x)x2f(x)，x0，当xx20，所以F(x)0，则F(x)在(，0)上递减又(x2018)2f(x2018)4f(2)0可转化为(x2018)2f(x2018)(2)2f(2)，即F(x2018)F(2)，所以x20182，所
6、以x0，因此，k(x)在0,1上是增函数，故k(x)k(0)0，所以f(x)，x0,1 (1)证明f(x)g(x)的步骤：构造函数F(x)f(x)g(x)；研究F(x)的单调性或最值；证明F(x)min0.(2)注意：其中构造函数是将不等式问题转化为函数问题为了利用导数研究函数的性质，常用分析法将要证明的不等式进行适当变形或化简，然后构造相应的函数2(2018全国卷节选)已知函数f(x)aexln x1.证明：当a时，f(x)0. 当a时，f(x)ln x1.设g(x)ln x1，则g(x).当0x1时，g(x)1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.因此
7、，当a时，f(x)0. 已知不等式恒成立求参数的范围已知两个函数f(x)7x228xc，g(x)2x34x240x.若x3,3，都有f(x)g(x)成立，求实数c的取值范围 f(x)g(x) 7x228xc2x34x240xc2x33x212x，所以原命题等价于c2x33x212x在x3,3上恒成立令h(x)2x33x212x，x3,3，则ch(x)max.因为h(x)6x26x126(x2)(x1)，当x变化时，h(x)和h(x)在3,3上的变化情况如下表：x3(3，1)1(1,2)2(2,3)3h(x)00h(x)45单调递减极小值7单调递增极大值20单调递减9易得h(x)maxh(3)4
8、5，故c45. (1)已知不等式恒成立，求参数a的范围，例如f(x)g(x)在xD上恒成立，其主要方法是：构造函数法：将不等式变形为f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化为F(x)min0.分离参数法：将不等式变为ah(x)或ah(x)max或ag(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数F(x)f(x)g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明F(x)0.其中要特别关注如下两点：(1)是直接构造F(x)，还是适当变形化简后构造F(x)，对解题的繁简有影响；(2)找到F(x)在什么地方可以等于零，往往是解决问题的一个突破口2利用导数解不等式的基本方法是构造函数，寻找一个函数的特殊值，通过研究函数的单调性，从而得出不等式的解集3处理已知不等式恒成立求参数范围的问题，要突出转化的思想，将其转化为函数的最值问题已知f(x)g(x)在xD上恒成立，求其中参数a的范围，其主要方法是：构造函数法：将不等式变形为f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化为F(x)min0.分离参数法：将不等式变为ah(x)或ah(x)max或ah(x)min.
