1、第4讲 导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位 在高考试题的导数压轴题中，以含指数、对数的函数为截体，考查函数零点问题、与方程的根相关的问题及函数图象的交点问题是高考命题的一个热点.真 题 感 悟(2016全国卷)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).()设 a0，则当 x(，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.()设 ae2，则 ln(2a)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln(
2、2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.若 a1，故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0，则由(1)知，f(x)在(，1)单调递减，在(1，)上单调递增.又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 ba2(b2)a(b1)2ab232b 0，所以 f(x)有两个零点.()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有一个零点.()设 a0，若 ae2，则由(1)知，f(x)在(1，)单调递增.又当 x1 时 f(x)0，故 f(x)不存在两个零点；若 ae2，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调
3、递减，在(ln(2a)，)上单调递增.又当 x1 时 f(x)0，则x0.(1)求 f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e上仅有一个零点.(1)解 函数的定义域为(0，).由 f(x)x22kln x(k0)得 f(x)xkxx2kx.由 f(x)0 解得 x k.f(x)与 f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：X(0，k)k(k，)f(x)0f(x)k（1ln k）2所以，f(x)的单调递减区间是(0，k).单调递增区间是(k，)，f(x)在 x k处取得极小值 f(k)k（1ln k）2.(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，)上
4、的最小值为 f(k)k（1ln k）2.因为 f(x)存在零点，所以k（1ln k）20，从而 ke，当 ke 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且 f(e)0，所以 x e是 f(x)在区间(1，e上的唯一零点.当 ke 时，f(x)在区间(0，e)上单调递减，且 f(1)120，f(e)ek2 0，所以 f(x)在区间(1，e上仅有一个零点.综上可知，若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间(1，e上仅有一个零点.探究提高 研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研
5、究方程中的重要应用.微题型2 根据函数零点求参数范围【例 22】(2016郑州模拟)已知函数 f(x)xln x，g(x)x2ax2(e 为自然对数的底数，aR).(1)判断曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线 yg(x)的公共点个数；(2)当 x1e，e 时，若函数 yf(x)g(x)有两个零点，求 a的取值范围.解(1)f(x)ln x1，所以切线斜率 kf(1)1.又 f(1)0，曲线在点(1，0)处的切线方程为 yx1.由yx2ax2，yx1x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知：当 0 时，即 a1 或 a3 时，有两个公共点；当 0 时，即 a
6、1 或 a3 时，有一个公共点；当 0 时，即1a3 时，没有公共点.(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由 y0，得 ax2xln x.令 h(x)x2xln x，则 h(x)（x1）（x2）x2.当 x1e，e 时，由 h(x)0，得 x1.所以 h(x)在1e，1 上单调递减，在1，e上单调递增，因此 h(x)minh(1)3.由 h1e 1e2e1，h(e)e2e1，比较可知 h1e h(e)，所以，结合函数图象可得，当 3ae2e1 时，函数 yf(x)g(x)有两个零点.探究提高 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1
7、)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.【训练 2】(2016常德二模)已知函数 f(x)axsin x32(a0)，且在0，2 上的最大值为32.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在(0，)内的零点个数，并加以证明.解(1)由已知，得 f(x)a(sin xxcos x)，且 a0.当 x0，2 时，有 sin xxcos x0，从而 f(x)0，f(x)在0，2 上是增函数，又 f(x)在0，2 上的图象是连续不断的，故 f(x)在
8、0，2 上的最大值为 f2，即2a3232，解得 a1.综上所述得 f(x)xsin x32.(2)f(x)在(0，)内有且只有两个零点.证明如下：由(1)知，f(x)xsin x32，从而 f(0)320，f 2 32 0.又 f(x)在0，2 上的图象是连续不断的，所以 f(x)在0，2 内至少存在一个零点.又由(1)知 f(x)在0，2 上单调递增，故 f(x)在0，2 内有且只有一个零点.当 x2，时，令 g(x)f(x)sin xxcos x.由 g(x)2cos xxsin x，知 x2，时，有 g(x)0，从而 g(x)在2，内单调递减.当 x2，m 时，g(x)g(m)0，即
9、f(x)0，从而 f(x)在2，m 内单调递增，由 g2 10，g()0，且 g(x)在2，上的图象是连续不断的，故存在 m2，使得 g(m)0.故当 x2，m 时，f(x)f 2 32 0，故 f(x)在2，m 上无零点；当 x(m，)时，有 g(x)g(m)0，即 f(x)0，从而 f(x)在(m，)内单调递减.又 f(m)0，f()0，且 f(x)的图象在m，上连续不间断，从而 f(x)在区间(m，)内有且仅有一个零点.综上所述，f(x)在(0，)内有且只有两个零点.1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式yy0f(x0)(xx0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切
10、线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是yy0f(x0)(xx0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.
