1、单元质量评估(四) (第四讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有()A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n12(2n-1)(nN+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增加的式子是()A.2k+1B.2k+3C.2(2
2、k+1)D.2(2k+3)【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).3.(2016金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成()A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k
3、+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.4.(2016大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于()A.1B.2C.3D.0【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.5.在数列an中,an=1-+-+-,则ak+1=()A.ak+B.ak+-C.ak+D.ak+-【解析】选D.a1=1-,a2=1-+-,an=1-+-+-,ak=1-+-+-,所以ak+1=ak+-.6.已知数列an中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(nN+),用数
4、学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明()A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2016烟台高二检测)设f(n)=1+,则f(k+1)-f(k)等于()A.B.+C.+D.+【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+.当n=k+1时,f(k+1)=1+.所以f(k+1)-f(k)=+.8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+=2时,若已假设n=k(k2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证
5、()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k2且为偶数,而错选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,推测第n个等式应该是.【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最
6、小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)210.(2016大连高一检测)用数学归纳法证明cos+cos3+cos(2n-1)=(sin0,nN+),在验证n=1时,等式右边的式子是.【解析】当n=1时,右边=cos.答案:cos11.设f(n)=,用数学归纳法证明f(n)3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)_.【解析】当n=k时,f(k)=;当n=k+1时,f(k+1)=,所以f(k)应乘.答案:12.已知数列an,
7、其中a2=6,且满足=n,则a1=,a3=,a4=,猜想an=.【解析】由已知可得=1,=2,=3,将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a1=1,a2=23,a3=35,a4=47,猜想得an=n(2n-1).答案:11528n(2n-1)三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2016石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当nN+时,+=.【证明】(1)当n=1时,左边=,右边=,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,等式成立,即+=.则当n=k+1时,+=+=.即当n=k+1时,等
8、式也成立.由(1),(2)可知对一切nN+等式都成立.14.(10分)对于nN+,用数学归纳法证明:1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1=n(n+1)(n+2).【证明】设f(n)=1n+2(n-1)+3(n-2)+(n-1)2+n1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)设当n=k(k1)时,等式成立,即1k+2(k-1)+3(k-2)+(k-1)2+k1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时,f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)1=f(k)+1+2+3+k+(k+1)=k(k+1)
9、(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知当nN+时,等式都成立.15.(10分)(2016南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)3n+9(nN*)能被36整除.【证明】(1)当n=1时,f(1)=(21+7)31+9=36,能被36整除.(2)假设n=k(k1,kN*),f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除,当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因为3k-1-1是偶数,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)
10、=(2n+7)3n+9也能被36整除.由(1)(2)知,对nN*,f(n)=(2n+7)3n+9都能被36整除.16.(10分)(2016苏州高二检测)已知正项数列an和bn中,a1=a(0a1),b1=1-a.当n2时,an=an-1bn,bn=.(1)证明:对任意nN+,有an+bn=1.(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;假设n=k(k1)时命题成立,即ak+bk=1,则当n=k+1时,ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1=(ak+1)=1.所以当n=k+1时,命题也成立.由可知,a
11、n+bn=1对nN+恒成立.(2)因为an+1=anbn+1=,所以=+1,即-=1.数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)1,从而an=(0an2(nN+).【证明】(1)当n=1时,21+212,不等式成立;当n=2时,22+222,不等式成立;当n=3时,23+232,不等式成立.(2)假设当n=k(k3)时不等式成立,即2k+2k2.则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-22k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因为k3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)0,(*)从而2k+1+2(k+1)2+k2-2k-3(k+1)2,所以2k+1+2(k+1)2.即当
12、n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2n2对一切nN+都成立.18.(10分)(2016广州高二检测)在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(nN+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:+.【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明:当n=1时,由上可得结论成立.假设当n=k(k1)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2.那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1=(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)=2(n+1)n.故+=+=+=.
