1、2.2用函数模型解决实际问题必备知识基础练进阶训练第一层知识点一已知函数模型的实际应用1.商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(6x)，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大知识点二未知函数模型的实际应用2.我国古代著名的思想家庄子在庄子天下篇中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如
2、果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为()Ayx(xN*) Byx (xN*)Cy2x(xN*) Dy(xN*)3有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值知识点三分段函数模型的实际应用4某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：先将水加热到100 ，水温y(单位：)与时间t(单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(单位：)与时间t(单位：min)近似满足函数的关系式为y80b(a，
3、b为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40 时口感最佳某天室温为20 时，冲泡热饮的部分数据如图所示那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为_5某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加培训的员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1 000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)请你预算：
4、公司此次培训的总费用最多需要多少元关键能力综合练进阶训练第二层1某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x2把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(单位：)，空气的温度是T0(单位：)，经过t分钟后物体的温度T(单位：)可由公式TT0(T1T0)e0.25t求得把温度是90 的物体放在10 的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ，那么t的值约等于(参考数据：ln 31.099，ln 20.693)()
5、A1.78 B2.77C2.89 D4.403某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元/件时，日均销售量减少10件，该商品在销售过程中，每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大()A8元/件 B10元/件C12元/件 D14元/件4如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0a12)，不考虑树的粗细现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数uf(a)的图象大致是()5科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地
6、震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r0.6lg I，若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2，记n，则n约等于()A16 B20C32 D906如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：xt(0ta)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数yf(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是()7有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_m2.(围墙
7、厚度不计)8某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)n(n1)(2n1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是_年9(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发1.5 h后与
8、骑自行车者速度一样其中正确信息的序号是_10(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知ABa(a2)，BC2，且AEAHCFCG，设AEx，绿地面积为y.(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？学科素养升级练进阶训练第三层1(多选题)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系式t且该食品在4 的保鲜时间是16小时已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示以下结论正确的是()A该食品在6 的保鲜时间是8小时
9、B当x6,6时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少C到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间2已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.(1)y与x的关系式为_；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_小时(精确到0.1)(参考数据：0.20.30.6,0.82.30.6,0.87.20.2,0.89.90.1)3(情境命题生活情境
10、)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物患者单次服用指定规格的该药物质，其体内的药物浓度c(mg/L)随时间t(h)的变化情况(如图所示)：当0t1时，c与t的函数关系式为cm(2t1)(m为常数)；当t1时，c与t的函数关系式为ckt(k为常数)服药2 h后，患者体内的药物浓度为10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险(1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？(2)首次服药1 h后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？(参考数据：lg 20.3，lg 30.477)22用函数模型解决实际问题必备知识基础练1解析：(1)因为
11、x5时，y11，所以1011，解得a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(6x)设商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，则f(x)(x3)210(x3)(6x)10x290x178102(3x6)当x时，函数f(x)在定义域(3,6)上取得最大值，最大值为，即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大2解析：由题意可得，剩下的部分依次为，因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y(xN*)，故选D.答案：D3解析：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，则由图可得9xx6yl，所以6yl(9)x，所以Sx24xyx2xl(9)xx2lx2.要使窗户所通
12、过的光线最多，只需窗户的面积S最大由6y0，得0x.因为0，所以当x，y，即时，窗户的面积S有最大值，且Smax.4解析：由题意知当0t5时，图象是直线，当t5时，图象对应的解析式为y80b，图象过点(5,100)和点(15,60)，则得即y8020，t5，当y40时，得802040，即8020，得，得2，得t25，即最少需要的时间为25 min.答案：25 min5解析：(1)当0x30，xN时，y400x1 000x1 400x；当30x60，xN时，y400x1 00020(x30)x20x22 000x.故y(2)当0x30，xN时，y1 4003042 000元；当30x60，xN时
13、，y205022 0005050 000元综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50 000元关键能力综合练1解析：当x1时，否定B；当x2时，否定D；当x3时，否定A，故选C.答案：C2解析：由题意可知5010(9010)e0.25t，整理得e0.25t，即0.25tlnln 20.693，解得t2.77.答案：B3解析：设单价为(6x)元，则日均销售量为(10010x)件，日利润y(6x4)(10010x)2010x280x18010(x4)2340(0x10)，所以当x4时，ymax340.因此单价为10元/件时，利润最大答案：B4解析：设AD长为x，则CD长为16x，又要将点P围在矩形
14、ABCD内，ax12.则矩形ABCD的面积Sx(16x)(x8)264.若0a8，当且仅当x8时，Smaxu64；若8a12，Smaxua(16a)故函数uf(a)的解析式为u画出函数图象可得其形状与B接近，故选B.答案：B5解析：r0.6lg I，I10.当r6.5时，I110，当r7.4时，I210，n1010101032.答案：C6解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性选项A，B，D由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C，后面是直线增加，不满足题意，故选C.答案：C7解析：如图，设每个小矩形的长为a m，则宽为b(3604a)m，记面积为S m2.则S3aba(360
15、4a)4a2360a(0a90)当a45时，Smax8 100(m2)围成场地的最大面积为8 100 m2.答案：8 1008解析：由题意知，第一年产量为a11233，以后各年产量分别为anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2(nN*，n2)令3n2150，得2n5，又nN*，得2n7，故生产期限最长为7年答案：79解析：看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故正确，错误答案：10易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参
16、数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值解析：(1)由题可得SAEHSCFGx2，SDGHSBEF(ax)(2x)，yS矩形ABCD2SAEH2SBEF2ax2(ax)(2x)2x2(a2)x.由得0x2.当x2时，点H，F分别为点D，B重合，y2a4，满足y2x2(a2)x.综上，y2x2(a2)x，定义域为(0,2(2)由(1)得y22，0x2.当2，即2a6时，最大值在x时取得，即ymax；当2，即a6时，y2x2(a2)x在(0,2上是增函数，则x2时，ymax2a4.综上所述，当2a6，
17、AE时，绿地面积取最大值；当a6，AE2时，绿地面积取最大值2a4.学科素养升级练1解析：由题意知当x4时，t16，24k61624，4k64，k，当x0时，t2，故当x6时，t238，故A正确由题知当x0时，t64，故B不正确由题图知此日13时，室外温度为10 ，当x10时，t2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C不正确，D正确故选A、D.答案：AD2解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y2 500(120%)x2 5000.8x(mg)，即y与x的关系式为y2 5000.8x.
18、(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险，令2 5000.8x500，即0.8x0.2.0.87.20.2，y0.8x是单调递减函数，x7.2，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时答案：(1)y2 5000.8x(2)7.23解析：(1)当t1时，ckt，函数图象过点(2,10)，所以k210，解得k40.所以当t1时，c40120.所以当0t1时，cm(2t1)的图象过点(1,20)，所以m20，所以c202t20.由202t2010得2t，所以tlog20.59，则首次服药后，药物有疗效的时间为20.591.41(h)(2)设1 h后再次服用同等规格的药物x小时后的药物浓度为y.当0x1时，y202x2040x120(2x2x)20，此函数在0,1内单调递增，所以当x1时，ymax30.当x1时，y40x40x160x30.因为3032，所以首次服药1 h后，可以立即再次服用同等规格的这种药物
