1、江苏省洪泽中学2020至2021学年高三年级第一学期第一次五校联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为( )A. 13,1B. 0,1C. -,13D. 0,132.已知log2alog2b，则下列不等式一定成立的是()A. 1a1bB. log2(a-b)0 C. 13a12bD. 2a-b0的解集为()A. (0,14)B. (4,+)C. (14,1)(4,+)D. (0,14)(4,+)4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的
2、图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是( )ABCD5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8，则12x+4y的最小值是()A. 3B. 94C. 4615D. 96已知函数，若，则的大小为（ ）ABCD7已知命题：，；命题q: ，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）ABCD 8.已知函数fx=xlnx-ax有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. -,0B. 0,12C. 0,1D. 0,+二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分，每小题全对得5分，部分对得3分，有错得零分） 9.若直线y=12x+b是函数fx图象的
3、一条切线，则函数fx可以是( )A. fx=1xB. fx=x4C. fx=sinxD. fx=ex10设正实数满足，则下列说法正确的是( )A的最小值为B的最大值为C的最小值为D的最小值为 11.下列命题中正确命题的是()A.已知a，b是实数，则“(13)alog3b”的充分而不必要条件；B .x(-,0)，使2x0)有3个不同的根，则a的范围是四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题共10分）已知角为第一象限角，且sin=55(1)求cos，tan的值；(2)求3sin(-)-2cos(+)cos(2-)的值18.（本题共12分）已知集合A=x|y=log2-4x2+15x-
4、9,xR，B=x|x-m1,xR (1)求集合A；(2)若p：xA，q：xB，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围19.（本题共12分）已知函数f(x)=ax2+2x+c，(a,cN*)满足：f(1)=5；6f(2)11(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的实数x12,32，都有f(x)-2mx1成立，求实数m的取值范围20. （本题共12分）已知函数f(x)=a4x-14x+1是定义在R上的奇函数 (1)求a的值； (2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x2-2x)+f(3x-2)0； (3)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是k
5、4m,k4n？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由 21. （本题共12分）如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元 (1)设COD=x(单位：弧度)，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围； (2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用 22.已知函数f(x)=4x-alnx-12x2-2，
6、其中a为正实数(1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2，求a的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间；(3)若函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)log2b，则下列不等式一定成立的是()A. 1a1bB. log2(a-b)0C. 13a12bD. 2a-b0的解集为()A. (0,14)B. (4,+)C. (14,1)(4,+)D. (0,14)(4,+)【答案】D4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象
7、的特征，如函数在区间上的图象的大致形状是( )ABCD【答案】A5.已知x0,y0,lg4x+lg2y=lg8，则12x+4y的最小值是()A. 3B. 94C. 4615D. 9【答案】A6已知函数，若，则的大小为（ ）ABCD【答案】B 7已知命题：，；命题q: ，若、都为真命题，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A 8.已知函数fx=xlnx-ax有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. -,0B. 0,12C. 0,1D. 0,+【答案】B【解答】解：因为f(x)=x(lnx-ax)，所以f(x)=lnx-2ax+1由题可知f(x)在(0,+)上有两个不同的零点，令f(x)=
8、0，则令，则，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，又因为当x从右边趋近于0时，g(x)-，当x+时，g(x)0，而g(x)max=g(1)=1，所以只需02a1，即0a12故选B二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 9.若直线y=12x+b是函数fx图象的一条切线，则函数fx可以是( )A. fx=1xB. fx=x4C. fx=sinxD. fx=ex【答案】BCD10设正实数满足，则下列说法正确的是( )A的最小值为3B的最大值为C的最小值为D的最小值为【答案】ABD 11.下列命题中正确命题的是()A.已知a，b是实数，则“(13)alog3b”的充分
9、而不必要条件；B .x(-,0)，使2x3x；C.设x=是函数f(x)=3sinx-cosx的一个极值点，则sin2+2cos2=-25D.若角的终边在第一象限，则sin2|sin2|+cos2|cos2|的取值集合为-2,2【答案】CD 【解析】解：对于A ，若“(13)ab，若“log3alog3b”，则ab0所以“(13)alog3b”的必要不充分条件所以A 不正确；对于B ，由指数函数的单调性可得x(-,0)，使2x0，故fx在R上是增函数，C正确；1ex+1(0,1)，故f(x)(-12,12)，则g(x)-1,0，故D错误故选BC三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知
10、扇形的圆心角为23，半径为5，则扇形的面积S=_【答案】25314.已知函数f(x)=lg(x2+1+x)+a，且f(ln3)+f(ln13)=1，则a=_【答案】1215.已知三个函数hx=x2-2lnx,f(x)=h(x)-5lnx-5ln2，g(x)=h(x)+2lnx-bx+4.若x1(0,1，x21,2，都有f(x1)g(x2)成立，求实数b的取值范围 【答案】b8【解答】解：由题知f(x)=2x-2x-5lnx-5ln2，g(x)=x2-bx+4f(x)=2+2x2-5x=2x2-5x+2x2=(x-2)(2x-1)x2f(x)在(0,12)上单调递增；在(12,2)上单调递减，易
11、知f(x)在区间(0,1上的最大值为f(12)=-3，x1(0,1，x21,2，都有f(x1)g(x2)成立，即f(12)g(1)f(12)g(2),即-35-b-38-2b,解得b8，16.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2+x)=f(2-x)，当x-2,0时，f(x)=(22)x-1，若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a0)有3个不同的根，则a的范围是【答案】(4,8)【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应用，属于中档题由已知中可以得到函数f(x)是一个周期函数，且周期为4，根据函数与方程之间的关
12、系，转化为函数f(x)的图象与函数y=loga(x+2)的图象有3个不同的交点，利用数形结合即可得到实数a的取值范围【解答】解：对于任意的xR，都有f(x-2)=f(2+x)，f(x+4)=f2+(x+2)=f(x+2)-2=f(x)，函数f(x)是一个周期函数，且T=4又当x-2,0时，f(x)=(22)x-1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(-2,6)内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f(x)与y=loga(x+2)在区间(-2,6)上有3个不同的交点，如下图所示：又f(-2)=f(2)=1，当0a1时，则对于函数y=loga(x+
13、2)，由题意可得，当x=2时的函数值小于1，当x=6时的函数值大于1，即loga41，由此解得：4a0，则(x-3)(4x-3)0，34x3，A=x|34x36分(2)B=x|x-m|1,xR，由|x-m|1可得：x-m1或x-m-1，xm+1或xm-1，B=x|xm+1或xm-18分p:xA，q:xB，且p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，9分m-13或m+134，m4或m-14，11分实数m的取值范围是(-,-144,+). 12分19.已知函数f(x)=ax2+2x+c，(a,cN*)满足：f(1)=5；6f(2)11(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的实数x12,32，都
14、有f(x)-2mx1成立，求实数m的取值范围【答案】1f1=a+2+c=5，c=3-a.又6f211，即64a+c+411，将式代入式，得-13a43，3分又a、cN*，a=1，c=2fx=x2+2x+26分2证明：x12,32，不等式fx-2mx1恒成立21-m-x+1x 在12,32上恒成立8分由于-(x+1x)min=-52，故只需2(1-m)-52即可10分解得m9412分（注：本题有其它解法酌情给分）20.已知函数f(x)=a4x-14x+1是定义在R上的奇函数(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x2-2x)+f(3x-2)0；(3)是否存在
15、实数k，使得函数f(x)在区间m,n上的取值范围是k4m,k4n？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：(1)fx=a4x-14x+1是定义在R上的奇函数，f0=0，从而得出a=1，2分a=1时，f(x)+f(-x)=4x-14x+1+4-x-14-x+1=4x-14x+1+14x-114x+1=4x-14x+1+1-4x1+4x=0，a=1；4分（不证明扣2分）(2)f(x)是R上的增函数，证明如下：设任意x1,x2R且x1x2，=24x2+1-24x1+1=2(4x1-4x2)(4x2+1)(4x1+1)，x1x2,4x10,4x2+10,f(x1)f(x2)，fx
16、是在-,+上是单调增函数6分fx2-2x+f3x-20，又fx是定义在R上的奇函数且在-,+上单调递增，fx2-2xf2-3x， x2-2x2-3x，-2x0，即方程t2-1+kt-k=0有两个不等的正根，10分1+k200-k0, -3+22k0 存在实数k，使得函数f(x)在m,n上的取值范围是k4m,k4n，并且实数k的取值范围是(-3+22,0)12分（注：本题有其它解法酌情给分） 21.某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米在扇形
17、区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元(1)设COD=x(单位：弧度)，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；(2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用 【答案】解：(1)因为扇形AOC的半径为10m，且OD的长不超过20米，当OD=20m时，故0x32分所以扇形AOC的面积：S扇AOC=(-x)1022=50(-x)，0x3在RtCOD中，OC=10，所以COD的面积，从而y=100SCOD+200S扇AOC，0x3；6分(2)设，则，f(x)=cos2x+sin2xcos2x-2=1-2cos2x
18、cos2x，令f(x)=0，解得x=4，8分从而当0x4时，f(x)0，当40，因此f(x)在区间(0,4)上单调递减，在区间(4,3上单调递增，10分当x=4时，f(x)取得最小值，f(4)=1+2-2=1+32，所以y的最小值为(5000+7500)元，答：当x=4时，改造景观的费用最低，最低费用为(5000+7500)元12分22.已知函数f(x)=4x-alnx-12x2-2，其中a为正实数(1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2，求a的值；(2)求函数y=f(x)的单调区间；(3)若函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，求证：f(x1)+f(x2)0，即0a4，则f(x)=
19、0的两根为24-a，此时f(x)的单调增区间为(0,2-4-a)，(2+4-a,+)，单调减区间为(2-4-a,2+4-a)(6分)(3)由(2)知，当0a4时，函数y=f(x)有两个极值点x1，x2，且x1+x2=4，x1x2=a因为f(x1)+f(x2)=4x1-alnx1-12x12-2+4x2-alnx2-12x22-2=4(x1+x2)-aln(x1x2)-12(x12+x22)-4=16-alna-12(42-2a)-4=4+a-alna，要证f(x1)+f(x2)0(8分)构造函数g(x)=xlnx-x-lnx+2，则g(x)=1+lnx-1-1x=lnx-1x，g(x)在(0,4)上单调递增，又g(1)=-10，且g(x)在定义域上不间断，由零点存在定理，可知g(x)=0在(1,2)上唯一实根x0，且lnx0=1x0(10分)则g(x)在(0,x0)上递减，(x0,4)上递增，所以g(x)的最小值为g(x0)，因为g(x0)=1-x0-1x0+2=3-(x0+1x0)，当x0(1,2)时，x0+1x0(2,52)，则g(x0)0，所以g(x)g(x0)0恒成立所以alna-a-lna+20，所以f(x1)+f(x2)6-lna，得证(12分)
