1、一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分）1.设集合，则实数的值为 【答案】【解析】试题分析：因,故,即.考点：交集及运算 2.命题“若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为 【答案】考点：命题的四种形式及真假的判断 3.若命题：，则该命题的否定是 【答案】，【解析】试题分析：依据全称命题的否定是存在性命题可得答案为，.考点：含有一个量词的命题的否定及求法【易错点晴】本题考查的是全称命题的否定与存在性命题之间的关系.求解时要充分借助“全称命题的否定是存在性命题”、“ 存在性命题的否定是全称命题”这一事实，先搞清所给的命题是全称命题还是存在性命题，然后再依据上述结论加
2、以判别求解写出答案.解答这类问题时，常常会和命题四种形式中“否命题”混淆，从造成解答上的错误. 4.已知函数的定义域为，值域为，则 【答案】考点：定义域、值域、交集 5.函数在上取最大值时，的值是 【答案】【解析】试题分析：因,故当时,函数取最大值.考点：导数在求函数的最值中的运用【易错点晴】本题是一道典型的运用导数求函数最值的问题.求解时先对所给的函数进行求导,再找出导函数的零点,即函数的极值点,最后依据函数的单调求出极大值和极小值,进而依据实际情况求出其最大值和最小值,求解时可直接将极值点代入函数的解析式中,先算出函数的值再判断其是最大值或最小值,然后写出答案这样求解过程较为简便. 6.曲
3、线在点（0,1）处的切线方程为 【答案】【解析】试题分析：因,故切线的斜率为,所以切线方程为.考点：导数的几何意义及运用 7.函数的单调减区间为 【答案】【解析】试题分析：由可得.考点：导数在研究函数的单调性中的运用 8.已知函数在上是减函数，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题设可知在上恒成立,若,则,不合题设;故,所以由判别式可得.考点：导数在函数的单调性中的运用【易错点晴】本题考查的单调性与函数的导数的关系的一道典型的问题.这类问题解答思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式.导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之,函数是增函数则导函数的
4、值不小于零；函数是减函数则导函数的值不大于零.本题在解答时充分借助这一条件建立不等式,最后使本题获解. 9.已知函数在区间上的最小值为，则实数的值为 【答案】考点：导数在研究函数的最值中的运用【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间在有最小值这一条件和信息,先对函数进行求解,进而分类讨论参数的取值情形,分别求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出符合题设条件的参数的值. 10.已知函数在定义域内为单调函数，则实数的取值范围是 【答案】考点：导数在函数的单调性中的运用 11.已知为定义在上的可导
5、函数且，若恒成立，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：构造函数,则,由于不等式等价于,即,故借助函数的单调性可得,解之得.考点：导数在研究函数的单调性中的运用12.若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：当时,方程为；当时,方程为,令,画出函数的图象,从图象中可以看出当时,函数单调递减,当时单调递增,所以当时取最小值,因此存在,函数在单调减；在增,而当时,函数恒在轴的下方,所以当时函数的图象与直线有四个交点.考点：导数在研究函数的图象及函数的单调性中的运用 13.设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是 【答案】【解析】
6、考点：导数的几何意义及函数方程思想的运用【易错点晴】本题考查的是函数方程思想在解决实际问题中的运用.解答本题的关键在于先要依据题设条件分别求出两条曲线在给定点处的切线的斜率和,再利用其互相垂直这一条件和信息建立关于切点的横坐标为变量的方程,最后再将参数分离出来,将方程问题转化为函数问题,最终通过换元转化借助函数的图象和单调性求出其值域,使问题获解. 14.若函数的图象与直线交于两点，其中且，则的值为 【答案】考点：导数及函数方程思想的灵活运用二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.(本题满分14分)已知集合，函数的定义域为集合，若，求实数的值【答案
7、】【解析】试题分析：先将集合明确化,再借助建立方程分类求解即可.试题解析：由且得：，即. -3分当即时，不满足； -6分当即时，由得， 此时无解；-9分当即时，由得， 解得.故所求实数的值为. -14分考点：集合相等的条件及运用16.(本题满分14分)命题：“关于的方程有解”，命题：“，恒成立”，若“”为真，求实数的取值范围【答案】【解析】试题分析：借助复合命题的真假建立不等式求解即可获解.考点：命题的真假及充分必要条件【易错点晴】本题考查的是复合命题的真假为背景,真正考查函数的最值和解不等式的能力的一道试题.求解时要充分借助题设条件中要求“”为真”,该条件等价于“命题都是真命题”，从而将命题
8、转化为不等式的形式，最后将问题转化为求两个不等式交集的问题,命题中含参数的取值范围问题一般有两条思路，其一是建立不等式求其解集，其二是建立函数求其值域.17.(本题满分15分)已知函数的图象在点处的切线方程为（1）求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数的极值【答案】(1)；(2)增区间为和,减区间为；(3)极大值,极小值【解析】试题分析：(1)借助切点既在切线上,又在曲线上建立方程求解；(2)解导函数大于和小于零的不等式即可获解；(3)依据极大小值的定义求解.试题解析：(1) 切点在切线上，又，得， -2分，且在点处的切线斜率为0， -4分由得，. -5分(2) ， . 令，则或2，
9、 -8分2+00+408故的单调增区间为：和单调减区间为：. -12分(3) 由(2)得：当时，有极大值，为40，当时，有极小值，为8 -15分考点：导数及在研究函数的单调性和极值中的运用18.(本题满分15分)如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形内作一内切圆，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆外切的小圆，设圆与圆的半径之积为（1）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数；设圆的半径，将表示成的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求的最大值【答案】(1) ；(2)【解析】试题分析：(1)直接借助题设条件建立函数关系式；(2)选择其中一个函数利用导数工具求其最大值即可获解.圆的半
10、径分别为，由得， - 10分(2)选择：由 得，令，得； 令，得.在区间上是增函数，在区间上是减函数 当时，. -15分考点：导数在球最值中的运用及抽象概括能力和阅读理解能力.19.(本题满分16分)已知函数， ，（1）求函数的极值；（2）若对任意 恒成立，求m的取值范围【答案】(1) 当时，极小值为，无极大值，当时，极小值为，极大值为，当时，无极值，当时，极小值为，极大值为；(2)【解析】当时，在区间是增函数，无极值 -5分当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，极小值，极大值-6分(2)，由题意，当时，即 -8分当时， - 10分当时，令，则， 是减函数，不合题意-13
11、分当时，这与矛盾，舍去 -15分综上，m的取值范围是 -16分考点：函数的导数的有关知识在实际解决问题中的运用【易错点晴】本题考查的是函数的极值和在不等式恒成立的情形下参数的取值范围.求解过程中充分借助题设条件,运用分类整合的数学思想,对参数进行分类整合从而求出极值和不等式中参数的取值范围.对于问题(1)，因为,所以其中的参数要分类才能求出其极值,所以容易出错.对于问题(2)，由于两个函数都在变化,所以将问题转化为先求函数的最大值,再求函数的最小值,要使其差小于,只要最大值域最小值的差小于即可,从而使问题合得以合理的化归与转化.20.(本题满分16分)已知函数，（1）若函数在上单调递增，求实数
12、的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若与的图象有两个交点，求证：（参考数据：，）【答案】(1) ；(2)；(3)证明见解析【解析】试题分析：(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；(2)将参数用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；(3)先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证.试题解析：(1) ，.在上单调递增， ，恒成立即，恒成立令， ，时， . -4分 (3) 证明：由题意得得： 得：，即 代入得： ，即，不妨令，记，令，则，在上单调递增，则，故，.又，即，令，则时，在上单调递增，又， -16分考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用附
13、加题21.(本题满分10分)长方体中，为棱的中点，与交于点，求证：C1AMDN【答案】证明见解析【解析】试题分析：建立空间直角坐标系运用向量推证即可试题解析：以为正交基底建立空间直角坐标系，则， -4分， -6分， -10分考点：空间向量的数量积公式22.(本题满分10分)已知，且二阶矩阵满足（1）求；（2）求矩阵【答案】(1) ；(2) .考点：矩阵及逆矩阵的乘法运算23.(本题满分10分)设二阶矩阵是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿方向伸长为原来倍的伸压变换（1）求直线在作用下的方程；（2）求的特征值与特征向量（3）求的值【答案】(1) ；(2) ,，,；(3)【解析】试题分析：(1)
14、借助矩阵变换的公式即可获解；(2)依据矩阵特征多项式和特征方程即可获解；(3)借助特征向量的特征值的求解方法求解.试题解析：(1) ，设是所求曲线上的任一点，则，所以从而代入得，所以所求曲线的方程为. -4分(2)矩阵的特征多项式,由得，矩阵的特征值为，. (6分)当时，对应的一个特征向量；当时，对应的一个特征向量. -8分(3) ，-10分考点：矩阵的乘法法则、特征向量和特征值24.(本题满分10分)如图，四棱锥的底面是正方形，平面，点是上的点，且（1）求证：对任意的，都有；（2）若二面角的大小为，求的值【答案】(1)证明见解析；(2) (2)显然是平面的一个法向量，设平面的法向量为， 即 取，则，二面角的大小为，. -10分考点：空间向量的有关知识及运用
