1、1.2.3 充分条件、必要条件第1课时 充分条件、必要条件1.形如“如果p，那么q”的命题命题真假“如果p，那么q”是真命题“如果p，那么q”是假命题推出关系由p可以推出q由p推不出q记法pqp q 读法p推出qp推不出q2.充分条件与必要条件推出关系pqp q 条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件【思考】在逻辑推理中pq，能表达成哪几种说法？提示：以下5种说法：“若p，则q”为真命题；p是q的充分条件；q是p的必要条件；q的充分条件是p；p的必要条件是q.3.用集合知识理解充分条件和必要条件条件A=x|p(x)，B=x|q(x)且AB图示结论p(x)q
2、(x)p(x)是q(x)的充分条件q(x)是p(x)的必要条件4.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系(1)判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件.(2)性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)“x=3”是“x2=9”的必要条件.()(2)“x0”是“x1”的充分条件.()(3)如果p是q的充分条件，则p是唯一的.()提示：(1).因为“x2=9”“x=3”.(2).因为“x0”“x1”.(3).不唯一，如x3，x5，x10等都是x0的充分条件.2.x，yR，下列各式中哪个是“xy0”的必要条件？()A.x+y=0B.
3、x2+y20C.x-y=0D.x3+y30【解析】选B.因为xy0 x0且y0 x20且y20 x2+y20，所以“x2+y20”是“xy0”的必要条件.3.在平面内，下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？()A.四边形是平行四边形且对角线相等B.四边形两组对边相等C.四边形的对角线互相平分D.四边形的对角线垂直【解析】选A.因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以“四边形是平行四边形且对角线相等”是“四边形是矩形”的充分条件.类型一 充分条件【典例】1.设xR，则使x3.14成立的一个充分条件是()A.x3B.x4D.x42.判断下列各题中，p是否是q的充分条件：世纪金榜导学号(1)p：aQ，
4、q：aR.(2)p：ab，q：1，q：x21.(4)p：(a-2)(a-3)=0，q：a=3.(5)在ABC中，p：AB，q：BCAC.(6)已知a，bR，p：a2+b2=0，q：a=b=0.【思维引】1.我们平常说充分条件时，一般是“p是q的充分条件”，而这里是“x3.14成立的充分条件是什么”.这个语序有些类似于英语的“倒装句”应改写为“什么是x3.14的充分条件”即：什么“x3.14”.2.逐个判断“若p，则q”是否为真命题.【解析】1.选C.因为x4x3.14，所以x3.14的一个充分条件是x4.2.(1)由于QR，所以pq，所以p是q的充分条件.(2)由于ab，当b1；当b0时，1可
5、以推出x21.因此pq，所以p是q的充分条件.(4)设A=a|(a-2)(a-3)=0，B=3，则BA.因此p q，所以p不是q的充分条件.(5)由三角形中大角对大边可知，若AB，则BCAC.因此，pq，所以p是q的充分条件.(6)因为a，bR，所以a20，b20，由a2+b2=0，可推出a=b=0，即pq，所以p是q的充分条件.【素养探】在与充分条件判断有关的问题中，经常利用核心素养中的逻辑推理，以命题真假判断为背景，理解充分条件和必要条件.将本例2(2)的条件改为“p：0ab1，q：b ”，如何判断？【解析】当0ab1，a0，b ；当0ab0，b0时，有b0，q：a0，b0.(2)p：两个
6、三角形相似，q：两个三角形全等.(3)p：x为无理数，q：x2为无理数.(4)p：x=1，q：x2-4x+3=0.【解析】(1)ab0a0，b0或a0，b0，b0，因此p q，所以p不是q的充分条件.(2)因为两个三角形相似不一定全等，因此p q，所以p不是q的充分条件.(3)若x为无理数，则x2不一定为无理数；例如为无理数，则()2=2不为无理数；因此p q，所以p不是q的充分条件.(4)因为x=1x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0，所以x=1是x2-4x+3=0的充分条件，所以pq，所以p是q的充分条件.类型二 必要条件【典例】1.使|x|=x成立的一个必要条件是()A.x0D.x-
7、12.判断下列各题中，q是否是p的必要条件：世纪金榜导学号(1)p：|x|=|y|，q：x=y.(2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形.(3)p：x=1，q：x-1=(4)p：-2x5，q：-1x5.(5)p：a是自然数，q：a是正整数.(6)p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形.【思维引】1.这个语序应改写为()是|x|=x的必要条件，即：|x|=x().2.逐个判断“若p，则q”是否为真命题.【解析】1.选B.因为|x|=xx0，x0或x-1，所以使|x|=x成立的一个必要条件是x0或x-1.2.(1)若|x|=|y|，则x=y或x=-y，因此p q，所以q不是p的
8、必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形.因此p q，所以q不是p的必要条件.(3)当x=1时，x-1=0，所以pq，所以q是p的必要条件.(4)设A=-2，5，B=-1，5，则BA，所以p q，所以q不是p的必要条件.(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以p q，所以q不是p的必要条件.(6)等边三角形一定是等腰三角形，所以pq，所以q是p的必要条件.【内化悟】已知q是p的必要条件，q成立，p是否成立？q不成立，p是否成立？提示：q成立，p未必会成立.q不成立，p一定不成立.【类题通】必要条件的判断方法【习练破】判断下列各题中，q是否是p的必要条件：(1)p：a是1的平方根，q：a=1
9、.(2)p：4x2-mx+9是完全平方式，q：m=12.(3)p：a是无理数，q：a是无限小数.(4)p：a与b互为相反数，q：a与b的绝对值相等.【解析】(1)1的平方根是1，所以p q，所以q不是p的必要条件.(2)因为4x2-mx+9=(2x3)2，所以m=2，所以p q，所以q不是p的必要条件.(3)因为无理数是无限不循环小数，所以pq，所以q是p的必要条件.(4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等，所以pq，所以q是p的必要条件.【加练固】判断下列各题中，q是否是p的必要条件：(1)p：a+5是无理数，q：a是无理数.(2)p：三角形两边上的高相等，q：三角形为等腰三角形.(3)p：(x-a)(x-b)=0，q：x=a.(4)p：a和b都是偶数，q：ab是偶数.【解析】(1)若a+5是无理数，则a+5是无限不循环小数，所以a是无限不循环小数，所以a是无理数，所以pq，所以q是p的必要条件.(2)由三角形的面积公式可知，若一个三角形两边上的高相等，则这两条边相等，这个三角形是等腰三角形，所以pq，所以q是p的必要条件.(3)若(x-a)(x-b)=0，则x=a或x=b.所以p q，所以q不是p的必要条件.(4)两个偶数的乘积仍是偶数.所以pq，所以q是p的必要条件.
