1、章末综合测评(一)解三角形(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，AB5，BC6，AC8，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D非钝角三角形C由题知B为最大角，设边BC，AC，AB分别为a，b，c.cos B0，B为钝角，ABC是钝角三角形2已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则A()A B C D或B由，结合正弦定理，得，整理得b2c2a2bc，所以cos A，由A为三角形的内角，知A.3在ABC中，A60，b1，SABC，则A的对边的
2、长为()A B C DDSABCbcsin A，A60，b1c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A13.a.4在ABC中，c，则bcos Aacos B等于()A1 B C2 D4B因为bcos Aacos Bbac，所以选B5一艘军舰在一未知海域向正西方向行驶(如图所示)，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30方向上，行驶4千米到达B处后，测得C在西偏北75方向上，此时看山顶D的仰角为30，则此岛屿露出海平面的部分CD的高度为()A千米 B千米C千米 D2千米B在ABC中，A30，ACB753045，由正弦定理得BC2，CDBCtan 30，所以CD的高度为千米6在ABC中
3、，c4，B30，请给出一个b的值，使得此三角形有两解，则b的一个可能值是()A5 B C2 D1B由余弦定理可得b2a2c22accos Ba2164a，即a24a16b20有两个不等实根，(a2)2b24有两解，a2，2，解得b4，又b240，得b2，故2b4，只有选项B落在此范围内，故选B7设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b3，c1，A2B，则a的值为()A4 B3 C2 D2D由正弦定理得，得，即a6cos B由余弦定理b2a2c22accos B，得936cos2 B126cos B1cos B，解得cos B或cos B.又A2B，AB3B，0B，cos B，a6
4、cos B2.8如图，在ABC中，D是边BC上的点，且DCAC,2ACAD，AB2AD，则sin B等于()A BC DC设ADx，则DCACx，AB2x.在ACD中，由余弦定理，得cos C，sin C.在ABC中，由正弦定理，得，sin B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知a7，c5，sin C，则ABC的面积为()A10 B C DAC在ABC中，ac，所以C为锐角，所以cos C.由，得，得sin A，所以A或A.当
5、A时，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以SABCacsin B7510；当A时，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以SABCacsin B75.故选AC10在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，若(abc)(acb)(2)ac，则cos Asin C的可能取值是()A B C1 D2BC由(abc)(acb)(2)ac，得a2c2b2ac，所以根据余弦定理，得cos B，又B是锐角，所以B，所以AC，所以CA，所以cos Asin Ccos Asincos Asincos Acossin Asin
6、 Acos Asin.因为ABC是锐角三角形，所以即解得A，所以A，所以cos Asin C，所以cos Asin C的可能取值是和1.故选BC11对于ABC，有如下说法，其中正确的是()A若sin 2Asin 2B，则ABC为等腰三角形B若sin Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝角三角形D若AC2AB2BC2ACAB，4，则ABC的面积为2CD对于A，sin 2Asin 2B，则有2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形对于B，因为sin Acos B，所以AB或AB，所以ABC不一定是直角三角形对于C，sin2
7、 Asin2 Bcos2 C1，有sin2 Asin2 B1cos2 Csin2 C，所以a2b2c2，所以ABC为钝角三角形对于D，由余弦定理，得cos A，所以A，由ACABcos A4，得ACAB8，因此ABC的面积SACABsin A2.故选CD12在ABC中，若(ab)(ac)(bc)654，则下列结论正确的是()AABC是唯一的BABC是钝角三角形Csin Asin Bsin C753D若bc8，则ABC的面积是BC因为(ab)(ac)(bc)654，所以设ab6k，ac5k，bc4k(k0)，得ak，bk，ck，则abc753，则sin Asin Bsin C753，故C正确由于
8、ABC的边长不确定，所以三角形不确定，故A错误cos A0，所以A是钝角，即ABC是钝角三角形，故B正确若bc8，则kk4k8，则k2，所以b5，c3，A120，所以SABCbcsin A53，故D错误故选BC三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在题中横线上)13在ABC中，SABC(a2b2c2)，b1，a，则c_.1SABCabsin C，absin C(a2b2c2)即a2b2c22absin C由余弦定理得2abcos C2absin C，tan C1，C45.由余弦定理得c1.14在ABC中，a1，b2，cos C，则c_，sin A_.(本题第一空2分，第二空3
9、分)2c2a2b22abcos C12222124，故c2.cos A，A(0，)，sin A.15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则sin C_.在ABC中，由cos A得sin A，由ABC的面积为3，得bcsin A3.得bc24.又bc2得b6，c4.a2b2c22bccos A64，a8.则sin C.16我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域类”里写道：“问有沙田一段，有三斜其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假
10、设1里按0.5km计算，则该沙田的面积为_km2.21设在ABC中，BC13里，AC14里，AB15里，cos C，sin C，故ABC的面积为13140.5221(km2)四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)如图所示，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC60，AC7，AD6，SACD，求AB的长解在ACD中，SACDACADsin1，sin1，sin2.在ABC中，B60，由正弦定理得，BC5，由余弦定理得：AC2BC2AB22BCABcos B，即7252AB225AB，AB25AB240.解得AB8，AB3(舍去)18
11、(本小题满分12分)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsina.(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积解(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，所以sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，因为0B，0C，从而BC.(2)因为BCA，所以B，C.由a，A得b2sin ，c2sin ，所以SABCbcsin Asin sin cos sin .19(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)
12、sin C(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A.又0A180，A120.(2)由(1)中a2b2c2bc，A120，结合正弦定理，可得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，又sin Bsin C1，sin Bsin C.0B90，0C0)的最大值为2.(1)求函数f(x)在0，上的单调递减区间；(2)若ABC中，ff4sin Asin B，A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C60，c3，求ABC的面积解(1)由题意，f(x)的最大值为，所以2.又m0，所以m，f(x)2sin.f(x)为递减函数时，令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)所以f(x)在0，上的单调递减区间为.(2)设ABC的外接圆半径为R，由题意，得2R2.化简ff4sin Asin B，得sin Asin B2sin Asin B由正弦定理，得2R(ab)2ab，abab.由余弦定理，得a2b2ab9，即(ab)23ab90.将式代入，得2(ab)23ab90，解得ab3或ab(舍去)，故SABCabsin C.
