1、高考资源网（） 您身边的高考专家 【高频考点解读】1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)， yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数【热点题型】题型一 导数的运算例1、分别求下列函数的导数：(1)yexcos x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)yln.【提分秘籍】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数
2、的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元【举一反三】 分别求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin2；(3)y.【解析】(1)y，y.(2)ysin2(1cos x)cos x，y(cos x)(sin x)sin x.(3)y.题型二 导数的几何意义及其应用例2、已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f (2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程【提分秘籍】 求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x
3、0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解【举一反三】 (1)函数f(x)在点(1，2)处的切线方程为()A2xy40 B2xy0Cxy30 Dxy10(2)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay3x1 By3xCy3x1 Dy3x3【答案】(1)C(2)B【解析】题型三 导数几何意义的综合应用【例3】 (2014北京卷)已知函数f(x)2x33x.(1)求f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线
4、与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；(3)问过点A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？(只需写出结论)【解析】(1)由f(x)2x33x得f(x)6x23.令f(x)0，得x或x.因为f(2)10，f，f，f(1)1，所以f(x)在区间2，1上的最大值为f.(2)设过点P(1，t)的直线与曲线yf(x)相切于点(x0，y0)，则y02x3x0，且切线斜率为k6x3，所以切线方程为yy0(6x3)(xx0)，因此ty0(6x3)(1x0)整理得4x6xt30.设g(x)4x36x2t3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线yf(x)相切”等价于“g(
5、x)有3个不同零点”g(x)12x212x12x(x1)于是，当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，1)1(1，)g(x)00g(x)t3t1所以，g(0)t3是g(x)的极大值；g(1)t1是g(x)的极小值【提分秘籍】解决本题第(2)问的关键是利用曲线上点的坐标表示切线方程，可将问题等价转化为关于x0的方程有三个不同的实根，构造函数后，利用函数的单调性求极值，通过数形结合方法找到t满足的条件即可；第(3)问类比第(2)问方法即可【举一反三】 设函数yx22x2的图象为C1，函数yx2axb的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直(1)求a，b之间
6、的关系；(2)求ab的最大值【解析】【高考风向标】 【2015高考福建，理10】若定义在上的函数 满足 ，其导函数 满足 ，则下列结论中一定错误的是（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，选项A,B无法判断，故选C【2014安徽卷】设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值【解析】解： (1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.
7、令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增【2014安徽卷】设实数c0，整数p1，nN*.(1)证明：当x1且x0时，(1x)p1px；(2)数列an满足a1c，an1ana，证明：anan1c.【解析】证明：(1)用数学归纳法证明如下当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切
8、整数p1，不等式(1x)p1px均成立当n1时，由a1c0，即ac可知a2a1aa1c，从而可得a1a2c，故当n1时，不等式anan1c成立假设nk(k1，kN*)时，不等式akak1c成立，则当nk1时，f(ak)f(ak1)f(c)，即有ak1ak2c，所以当nk1时，原不等式也成立综合可得，对一切正整数n，不等式anan1c均成立【2014福建卷】已知函数f(x)exax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线yf(x)在点A处的切线斜率为1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x(x0，)时，恒有x2ce
9、x.【解析】方法三：(1)同方法一(2)同方法一(3)首先证明当x(0，)时，恒有x30时，x2ex，从而h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减，所以h(x)h(0)10，即x3x0时，有x2x3ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x(x0，)时，恒有x21时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)0，故知ln(1x)不恒成立综上可知，a的取值范围是(，1由可知，结论对nN成立方法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证方法三
10、：【2014四川卷】设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.【解析】(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以2a842a72a72，解得da8a72，所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在点(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在x轴上的截距为a2.由题意有a22，解得a22.所以da2a11.从而ann，b
11、n2n，所以数列的通项公式为，所以Tn，2Tn，因此，2TnTn12.所以，Tn.【高考押题】 1曲线yx3在原点处的切线 ()A不存在B有1条，其方程为y0C有1条，其方程为x0D有2条，它们的方程分别为y0，x0【答案】B【解析】y3x2，ky|x00，曲线yx3在原点处的切线方程为y0.2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30【答案】A【解析】 3曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为 ()A. B. C. D1【答案】A【解析】y|x0(2e2x)|x02，故曲线ye2x1在点
12、(0，2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线y0和yx的交点分别为(1，0)，故围成的三角形的面积为1.4已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 015(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x【答案】A【解析】5如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x【答案】A【解
13、析】设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0)，则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点(0，0)处的切线，则y|x01c1，排除B，D.又y3x6是该函数在点(2，0)处的切线，则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A项的函数符合，故选A.6已知函数f(x)f cos xsin x，则f 的值为_【答案】1【解析】f(x)fsin xcos x，ff sin cos ，f1，f (1)cos sin 1.7在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_【答案】3【解析】yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.8若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_【答案】2，)【解析】 9求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)ysin2；(3)ylog3(2x1)【解析】(1)ynxn1lg xxnxn1.(2)ysin2，y2sin.(3)y(2x1).10已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程【解析】 - 19 - 版权所有高考资源网
