1、十一离散型随机变量的均值(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)下列说法不正确的是()A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化B.随机变量的均值反映样本的平均水平C.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4D.随机变量X的均值E(X)=【解析】选ABD.A错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.B错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正确,由均值的性质可知.D错误,因为E(X)=x1p1+x2p2+xnpn.2.设0pE(),故
2、甲比乙质量好.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知随机变量X的分布列为X123P且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则 E(X)=_,a=_.【解析】E(X)=1+2+3=.因为Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=a+3=-2.解得a=-3.答案:-3【加练固】已知某离散型随机变量的数学期望E()=,的分布列如表:0123Pab则a=_.【解析】E()=0a+1+2+3bb=,又P(=0)+P(=1)+P(=2)+P(=3)=1a+=1a=.答案:6.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量(
3、束)的统计(如表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是_元.200300400500P0.200.350.300.15【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E()=2000.20+3000.35+4000.30+5000.15=340(束).设利润为,则=5+1.6(500-)-5002.5=3.4-450,所以E()=3.4E()-450=3.4340-450=706(元).答案:706三、解答题(每小题10分,共20分)7.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故
4、障的概率为,求p的值;(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X,求X的概率分布列及数学期望E(X).【解析】(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C,那么P(C)=1-P()=1-p=.解得p=.(2)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3.故P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以随机变量X的概率分布列为X0123P故随机变量X的数学期望:E(X)=0+1+2+3=.8.某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如表所示:版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510 (1)
5、从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为=1 225,选出2人使用版本相同的方法数为+=350,故2人使用版本相同的概率为P=.(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为X012P所以E(X)=0+1+2=.(15分钟30分)1.(5分)今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为,则E()=()A.0.765
6、B.1.75C.1.765D.0.22【解析】选B.设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件,的可能取值为0、1、2.P(=0)=P()=P()P()=(1-0.9)(1-0.85)=0.015.P(=1)=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=0.90.15+0.10.85=0.22.P(=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.90.85=0.765.所以E()=00.015+10.22+20.765=1.75.2.(5分)(多选题)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂
7、已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如表:品牌甲乙首次出现故障的时间x(年)0x11202轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)1231.82.9将频率视为概率,则()A.从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,其首次出现故障发生在保修期内的概率为B.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,则E(X1)=2.86(万元)C.若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,则E(X2)=2.99(万元)D.该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,应生产甲品牌的轿车【解析】选BD.设“甲
8、品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=.依题意得,X1的分布列为X1123PE(X1)=1+2+3=2.86(万元),X2的分布列为X21.82.9PE(X2)=1.8+2.9=2.79(万元).因为E(X1)E(X2),所以应生产甲品牌轿车.3.(5分)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如表:t123P(=t)?!?请小牛同学计算的数学期望 ,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E()=_.【解析】设“?”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以期望E()=1P(=1)+2P
9、(=2)+3P(=3)=4x+2y=2.答案:24.(5分)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望E()为_.【解析】依题意,知的所有可能值为2,4,6,设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为+=.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(=2)=,P(=4)=,P(=6)=,故E()=2+4+6=.答案:5.(10分)某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新
10、产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获得利润120万元,若新产品B研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.【解析】(1)设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为新产品A,B都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则P=,再根据对立事件概率之间的概率公式可得P=1-P=,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得,设该企业可获得利润为,则的取值有0,120+0,100+0,120+10
11、0,即=0,120,100,220,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:P=;P=;P=;P=;所以的分布列如下:0120100220P则数学期望E()=0+120+100+220=32+20+88=140.1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果某人决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,则在一年内他参加驾照考试次数X的均值为_.【解析】X的取值分别为1,2,3,4.X=1,表明此人第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)
12、=0.6.X=2,表明此人在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)0.7=0.28.X=3,表明此人在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)(1-0.7)0.8=0.096.X=4,表明此人第一、二、三次考试都未通过,故P(X=4)=(1-0.6)(1-0.7)(1-0.8)=0.024.所以他一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)=10.6+20.28+30.096+40.024=1.544.答案:1.5442.某届牡丹花会期间,我班有5名学生参加志愿者服务,服务场所是王城公园和牡丹公园.(1)若学生甲和乙必须在同一个公园,且甲和丙不能在同一个公园,则共有多少种不同的分配方案?(2)每名学生都被随机分配到其中的一个公园,设X,Y分别表示5名学生分配到王城公园和牡丹公园的人数,记=,求随机变量的分布列和数学期望E.【解析】(1)依题意甲,乙,丙三人的分配方法有2种,其余二人的分配方法有22种,故共有222=8种不同的分配方案.(2)设5名学生中恰有i名被分到王城公园的事件为Ai,的所有可能取值是1,3,5.P=P=P+P=+=,P=P=P+P=+=,P=P=P+P=+=,则随机变量的分布列为135P故随机变量的数学期望E=1+3+5=.
