1、2006 年高考数学诊断试卷(七)一、选择题:1已知平面上的直线 L 的方向向量 e(45,35),点 A(1,1)和 B(0,1)在 L 上的射影分别是A1 和 B1,若A1B1 e,则的值为()A115B115C2D22下列命题中,正确的个数是()若|a|b|0,则 a b o;在ABC 中,若OA OB OC O,则 O 为ABC 的重心;若 a,b是共线向量,则 a b|a|b|,反之也成立;若 a,b是非零向量,则 a b o的充要条件是存在非零向量 C,使 ac bc0A1B2C3D43若命题 P:xAB,则P()AxA 且 xBBxA 或 xBCxA 且 xBDxAB4已知函数
2、f(x)log2|ax1|(a0)满足关系式 f(2x)f(2x),则 a 的值为()A1B12C14D15已知 A、B、C、D 是同一球面上的四点,且每两点间距都等于 2,则球心到平面 BCD 的距离是()A 63B 66C 612D 6186若数列an是等差数列,首项 a10,a2003a20040,a2003a20050,则使前 n 项和 Sn0成立的最大自然数 n 是()A4005B4006C4007D40087已知 f(x)2x3,(xR),若|f(x)1|a 的必要条件是|x1|b,(a、b0)则 a、b 之间的关系是()Aab2Bba2Cba2Dab28已知 f(x)为 R 上的
3、增函数,点 A(1,1),B(1,3)在它的图象上,f1(x)是它的反函数,则不等式|f1(log2xkl)|1 的解集为()Ax|1x1Bx|2x8Cx|1x3D无法确定9函数 y 3sinxcosx 在 x6,6 时的值域是()A0,62 B 3,0C0,3D0,110在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是()A15B14C13D1211已知点(n,an)(nN)在直线 y4x52x 上,且数列an的前 n 项和 Snan2bn(a,bR),则limnanbnanbn等于()A1B1C1 或1D不存在
4、12设随机变量服从正态分布 N(1,22),若 P(c)43P(c),则常数 c 等于(参考数据:(2)0.9773)()A2B3C4D5题号123456789101112答案二、填空题:13若数列 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则(a1a2)2b1b2 的取值范围是_14将函数 yx2 的图象 F 按向量 a(3,2)平移到 F,则 F的函数解析式为15设命题 P:|4x3|1,命题 q:x2(2a1)xa(a1)0,若P 是q 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是16在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当 ab 时,a ba;当 ab
5、 时,a bb2;则函数 f(x)(1 x)x(2 x),x2,2的最大值等于(“”与“”分别为乘法与减法)三、解答题:17解关于 x 的不等式:ax2ax1x (aR)18已知等差数列an的前 9 项和为 153(1)数列an中是否存在确定的项?若存在,求出该项,若不存在,说明理由;(2)若 a28,bn2an,求数列bn的前 n 项积 Tn;(3)若从(2)中定义的an中,依次取出第二项、第四项、第八项,第 2n 项,按原顺序组成一新数列Cn,求Cn的前 n 项和 Sn19已知 A(2,0),B(2,0),点 C、D 满足|AC|2,AD 12(AB AC)(1)求点 D 的轨迹方程;(2
6、)过点 A 作直线 L 交以 A、B 为焦点的椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为45,且直线 L 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程20如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,ADAA13,AB 6,E、F 分别为 AB 和 A1D的中点(1)求证:AF平面 A1EC;(2)求 A1C 与底面 ABCD 所成角的正切值;(3)求二面角 A1ECD 的正切值21某投资公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资量成正比例,其关系如图 1,B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图 2,(注:利润与投资量单位:万元)(1)
7、分别将 A、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式;(2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品中,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?22在直角坐标平面中,已知点 p1(1,2),p2(2,22),p3(3,23),pn(n,2n),其中 nN,对平面上任一点 A0,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点,A2 为 A1 关于 P2 的对称点,An 为 An1 关于点 Pn的对称点(1)求向量A0A2 的坐标;(2)当点 A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 yf(x)的图象,其中 f(x)是以 3 为周期的周期
8、函数,且当 x(0,3时,f(x)Lgx,求以曲线 C 为图象的函数在(1,4上的解析式;(3)对任意偶数 n,用 n 表示向量A0An 的坐标yxo1.510.30.2yxo942.41.6A1ABB1D1CC1EMDFObba2a2ADCBRHOx2006 年高考数学诊断试卷(七)参考答案1D 2B 解:、不成立,中若 a c,b c不一定有 a b o3B 4B 5B 解:ABCD 为正四面体,球为其外接球,设 OHx则AHRx2 63R2x243x 66 6B 7C 解:由|x1|a2|x1|b8B9C10C 解:5 条直径 PC15C18C3101311A 解:an4n52由Snan
9、2bnSn1a(n1)2b(n1)an2anaba2b1212D 解:P(c)43 1P(c)P(c)43440.9773,(c12)0.9773,c12 2 c513(,04,)解:(a1a2)2b1b2(xy)2xy2(xyyx)4 或014yx26x7 解:平移公式:xx3yy2150,12 解:q:axa1 则q:xa 或 xa1p:12x1,则p:x12或 x1 由qp,则q pa1a1x12ooooa12a110a12166 解:x2,1时,f(x)1x24,1,x(1,2)时,f(x)x2x2(1,6)x2 时,f(x)2222617解:ax2ax1x0 xax10 x(ax1)
10、0a0 时,x0a0 时,x(x1a)01ax0a0 时,x(x1a)0 x0 或 x1a18解:(1)存在。S9(a1a9)929a5153 a517(2)a1+d=8a1+4d=17 d=3a1=5 an=3n+2,bn=23n+2Tn=252821123n22(3n7)n2,(3)Sna2a4a8a2n3(2122232n)2n3.2n12n619 解:(1)设 C(xoyo),D(xy),则AC=(xo+2,yo)AD=(x+2,y)AB=(4,0)由|AC|=2(xo+2)2yo2=4 由AD=12(AB+AC)x+2xo2+3y=yo2xo=2x2yo=2y代入得D 点轨迹方程:x
11、2+y2=1(2)设椭圆 b2+x2+a2y2=a2b2,Ly=k(x+2)与 x2+y2=1 相切。k2=13.由y=k(x+2)b2x2+a2y2=a2b2(3b2+a2)x2+4a2x+4a23a2b2=0.|x1x2|4a23b2a2=85a2=2b2 又 c2=4.即 a2b2=4 b2=4,a2=8 椭圆方程为x28+y24=120解:(1)取 A1C 中点 O,连 OE,OF,在A1CD 中,OF12DC 12ABAFOE 为 ,AFOEAF平面 A1EC(2)连 AC,AA1面 ABCDA1CA 即为所求角又 AC AB2BC2 15tanA1CAA1AAC 315 155(3
12、)作 AMCE,交 CE 的延长线于 M,连 A1M易证 A1MCE,A1MA 为所求角易证 rtAMErtCBE,AMCBAECE,CE 422 得 AM3 77 在 rtA1AM 中tanA1MAA1AAM33 77 720解:(1)取 A1C 中点 O 连 OE,OF 在A1CD 中,OF12DC 12AB.AFOE 为 ,AFOEAF和 A1EC(2)连 AC,AA1面 ABCDA1C 即为所求角。又 AC AB2+BC2=tcmA1CA=A1AAC=115=155.(3)作 AMCE,交 CE 的延专线于 M,连 A1M,易证 A1MCE,A1M 为所求角易证 reAMEreCBE,
13、AMCB=AECE,CE=422AM=3 77.在 reA1AM 中,tcmA1MA=A1AAM=33 77=721(1)设投资 x 万元,A 产品利润 f(x)万元,B 产品利润为 g(x)万元则 f(x)=k1x g(x)=k2 x,由图 1 知 f(x)=15,k1=15,g(4)=1.6 k2=45.故 f(x)=15x(x0)g(x)=45 x(x0)(2)设 A 产品投入 x 万元,B 产品投入 10 x 万元总利润 y 万元,则 y=15x+45 10 x,(ox10)令 t=10 x,(0t 10)则 y=10t2545t15(t2)2145 当 t2 时,ymox2.8(万元
14、)=此时 x6,故 A 投入 6 万元B 投入 4 万元可获得最大利润 2.8 万元22解:(1)P1、P2 分别为 A0A1,A1A2 中点A0A2 2P1P2 2(1,2)(2,4)(2)设 A0(x0,y0)(x0(1,4),则 A1(2x0,4y0),A2(x02,y04)x02(3,6,f(x)是以 3 为周期的函数,且当 x(0,3时,f(x)Lgx,f(x)Lg(x3),x(3,6,又点 A2 在函数 yf(x)图象上y04Lg(x023),即 y0Lg(x01)4CyLg(x1)4(3)A0An A0A2 A2A4 A4A6 An2An2(P1P2 P3P4 Pn1Pn)又Pn1Pn(1,2n1)A0An 2(1,21)(1,23)(1,25)(1,2n1)2(n2,2123252n1)(n,4(2n1)3)A0A2A4A1A3A5P1P2P3P4P5P6