1、 东北师大附中 2020 届高三年级第一次摸底考试数学（文科）试题 一、选择题 1已知集合=1，2，3，4，5，6，=|=2，则=（）A2，4 B1，4 C1，2，4 D2，4，16 2已知i是虚数单位，则21i=（）A1 i B2 i C1+i Di 3若=1.50.2，=1.50.4，=0.95，则（）A B C D 4给出下列三个命题：“若 0，则2 2”的逆命题为假命题；“2 1”是“函数()=2+2+1至少有一个零点”的充要条件；命题“0 R，30 0”的否定是“R，3 0”.其中真命题的个数是（）A0 B1 C2 D3 5函数()=+|的图象是（）A B C D 6已知函数()=|
2、1|+|+1|（R），则()的图象（）A关于原点对称，但不关于 y 轴对称 B关于 y 轴对称，但不关于原点对称 C关于原点对称，也关于 y 轴对称 D既不关于原点对称，也不关于 y 轴对称 7设=265+1，=245，则约等于（）（参考数据：lg2 0.3）A1020 B103 C106 D109 8若函数()的零点与函数()=4+2 2的零点之差的绝对值不超过 0.25，则()可以是（）A()=4 1 B()=log3(2 )C()=3 1 D()=2 3 9若函数()=，0，(3 )+2，0.在(，+)上为增函数，则的取值范围是（）A1，2 B1，2 C1，3 D2，3 10已知函数()
3、=2 2 (0 2)的零点在区间(1，32)内，则实数的取值范围是（）A(0，33)B(1，3)C(33，1)D(12，1)11已知定义在 R 上的函数()满足(4)()0，且=(+4)为偶函数，当|1 4|2 4|时，有（）A(8 1)(8 2)B(8 1)(8 2)D(8 1)(8 2)12将边长为1m正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记=(梯形的周长)2梯形的面积，则的最小值为（）A1633 B3233 C10039 D196315 二、填空题 13曲线()=cos在=6处的切线方程为_.14已知函数()=2 4，则(log212)=_.15已知函数()的定义
4、域为 R，对于任意实数，都有(1+)=()，且()共有五个零点，则()的所有零点之和为_.16已知定义域为 R 的奇函数()，满足()=223，2，2 2+2，0 2.下面四个关于函数()的说法：存在实数，使关于的方程()=有 7 个不相等的实数根；当1 1 2 (2)；若当 0，时，()的最小值为1，则 1，52；若关于的方程()=32和()=的所有实数根之和为零，则=32 其中说法正确的有_（将所有正确说法的标号填在横线上）三、解答题 17在ABC 中，角，的对边长分别为，=3，cos=45（）求sin的值；（）若=6，求的值.18设函数()=2 2+ln（）当=4时，求()的极值；（）当
5、 12时，判断()的单调性.19已知四棱锥 ，底面是菱形，=60，为正三角形，平面 底面，=2 （）求证：；（）求点到平面的距离 20在直角坐标系中，动点(，)（其中 2）到点(3，0)的距离的 4 倍与点到直线=2的距离的 3 倍之和记为，且=+18.（）求点的轨迹的方程；（）设过点的直线与轨迹交于，两点，求|的取值范围.21己知函数()=2+ln（）当=2时，函数()在(0，+)上是减函数，求 b 的取值范围；（）若方程()=0的两个根分别为1，2(1 0.22已知在直角坐标系内，直线的参数方程为=32+cos，=12+sin.（为参数，为倾斜角）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
6、线的极坐标方程为=22cos(+4)（）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（）设直线与曲线相交于两点 A、B，求点 P 到 A、B 两点的距离之和的最大值 23已知函数()=|2|2|，R （）当=1时，解不等式()0；（）设不等式()0的解集为，集合=|0，所以=2，当0 2时，0/因此，当=2时，()有极小值，极小值为()无极大值;()由已知，()的定义域为0，+，令()=22 2+(0)，则()在(0，12上递减，在12，+上递增，因此，()有最小值 12=12 当 12时，12 0，则 0/，此时，函数()在0，+上单调递增 19.解：证 明：()取AD的 中 点O，连 结
7、PO、BO，则 ，因为底面 ABCD 是菱形，所以 是正三角形，所以 ，又因为 =，所以 平面 POB，而 平面 POB，所以 ()因为平面 底面 ABCD，且 ，所以 平面 ABCD，=3，=12 =12 2 3=3，所以=13 =13 3 3=1，在 中，=2，=2+2=3+3=6，取 PB 的中点 E，连结 DE，则 ，=12 =12 2 2 2=12 6 102=152，因为=，设点 C 到平面 PBD 的距离为 h，则 =13 =13 152 =1，所以=25 15 20.解：()依题意，4(3)2+2+3(2)=+18，(3)2+2=6 12 化简得236+227=1，点 P 的轨
8、迹 C 的方程为236+227=1(2 6)()设点2，26，2，26 由()知，轨迹 C 是椭圆236+227=1在直线=2的右侧的部分(包括点 A、)可求出直线 AF 的斜率为26，直线 BF 的斜率为26.(1)当直线 l 的斜率不存在时，设(3，92)，(3，92)，此时，|=9.(2)当直线 l 的斜率 k 存在时，直线 l 的方程为=(3).由已知，直线 l 与轨迹 C 交于 M，N 两点，则 26或 26.设1，1，2，2，由()知，|=6 12 1，|=6 12 2，所以|=|+|=12 12(1+2).由=(3)236+227=1，得(3+42)2 242+362 108=0
9、.则1+2=2423+42，所以|=12 12(1+2)=12 1223+42=12 1232+4.因为 26或 26，所以2 24，所以0 12 124，所以9 12 1232+4 10011，即9|10011.综上可知，9 0，4+1 4，当且仅当=12时取 ()由 已 知，得，两 式 相 减，得 由知 ，设 =12 (0，1)，则 0.thereforeg left(t right)/在0，1 上 递 增，()(1)=0.1 2 22.解：()曲线 C 的直角坐标方程为(1)2+(+1)2=2，直线 l 过定点(32，12)()将直线 l 的参数方程代入(1)2+(+1)2=2，得2+(cos+sin)32=0 设点 A、B 对应的参数分别为1、2，则1+2=(cos+sin)，12=32.因为12 0，化为|2|2 1|，两边平方得2 4+4 42 4+1，解得1 0的解集为|1 1；()因为 ，所以当 0时，恒有()0，即2|2|0，2 2 或2 +23 或 2，又因为 ，所以 2；(另法)由()0，得|2|2|0，即|2|2|，两边平方，得(2 )2 0，得3 (+2)(2)0，(1)当 2+23 时，即 4时，=|2，又 ，所以+23 0，所以 2，此时 4；(2)当 2+23 时，即 4时，=|+23，又 ，所以 2 0，所以 2，此时2 4，综上可知，2
