1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4讲圆锥曲线中的最值、范围及存在性问题做高考真题明命题趋向做真题高考怎么考 (2019高考全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y
2、2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)明考情备考如何学与圆锥曲线有关的最值、范围及存在性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解、最值的探求这类问题研考点考向破重点难点破解难点1最值问题1几何转化代数法：将常见的几何图形所涉及的结论转化为代数问题求解常见的几何图形所涉及的结论有：(1)两圆相切时半径的关系；(2)三角形三边的关系式；(3)动点与定点构成
3、线段的和或差的最小值，经常在两点共线的时候取到，注意同侧与异侧；(4)几何法转化所求目标，常用勾股定理、对称、圆锥曲线的定义等案例关键步(2019高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB10，AC6，BD12(单位：百米)(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)在规
4、划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离(1)(2)略(3)先讨论点P的位置关键1：分类讨论，计算分析OBP大小不同时，点P当OPB90时，在PP1B中，PBP1B15.由上可知，d15.再讨论点Q的位置由(2)知，要使得QA15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA15时，CQ3.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径综上，当PBAB，点Q位于点C右侧，且CQ3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQPDCDCQ173.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为173(百米).2.函数最值法：结合已知条件，建立某一变量表示的函数
5、，将所求问题转化为函数的最值问题求函数最值的常用方法有：(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法案例关键步(2019高考全国卷)已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.(1)略，(2)略(2)由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|.设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2
6、，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为. 典型例题 (2019广州市调研测试)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P(，)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求F1AB的内切圆的半径的最大值【解】(1)依题意有，解得故椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F1AB的内切圆半径为r，由题意知F1AB的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，所以SF1AB4ar4r.根据题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为xmy1，由，得(
7、3m24)y26my90，(6m)236(3m24)0，mR，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，所以SF1AB|F1F2|y1y2|y1y2|，令t，则t1，SF1AB.令f(t)t，则当t1时，f(t)10，f(t)单调递增，所以f(t)f(1)，SF1AB3，即当t1，m0时，SF1AB取得最大值3，此时rmax.故当直线l的方程为x1时，F1AB的内切圆的半径取得最大值. 规律方法最值问题的基本解法(1)几何法：根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)(2)代数法：建立求解目标关于某个(或两个)变量的函
8、数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决 对点训练(2019合肥市第二次质量检测)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值解：(1)联立消去x得，y22py2p0，因为直线l：xy10与抛物线C相切，所以4p28p0，解得p2或p0(舍去)所以抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为tyx1，由消去x得，y24ty40，16t2160，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24t，所以x1x
9、24t22，所以线段AB的中点M的坐标为(2t21，2t)设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dAdB2d22|t2t1|2|(t)2|，所以当t时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，距离之和的最小值为.破解难点2范围问题1几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决案例关键步(2018高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)
10、上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)略(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).关键1：利用根与系数的关系，用P点的坐标表示PAB的面积因为x1(x0b0)的离心率为e，点(，1)在椭圆D上(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1k2k，求实数的取值范围【解】(1)椭圆D的离心率e，所以ab，又点(，1)在椭圆D上，所以1，得a2，b，所以椭圆D的方程为1.(2)
11、由题意得，直线l的方程为ykxt.联立，消元可得(2k21)x24ktx2t240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2kt.由k1k2k，得k，因为此等式对任意的k都成立，所以，即t22.因为点P(0，t)在椭圆内，所以0t22，即02b0)过点M，左焦点为F(1，0)(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线ykx2与椭圆C有两个不同的交点P，Q，点N(0，2)，记直线NP，NQ的斜率分别为k1，k2，求k1k2的取值范围解：(1)因为左焦点为F(1，0)，所以c1.因为椭圆C过点M，所以1，又a2b2c2，所以a24，b23，所以椭圆C的方程为1.(2)设
12、P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立，得(34k2)x216kx40.由(16k)244(34k2)0k2.x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)4，y1y2k2x1x22k(x1x2)4.所以k1k2k212，因为k2，所以k212，所以k1k2的取值范围为.破解难点3探索性问题探索性问题的解法：先假设存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在要注意的是：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当
13、条件和结论都不确定，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法案例关键步(2016高考全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.(1)略(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)，代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，关键2：联立直线方程与抛物线方程，求出交点的坐标即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点关键3：根据方程的解
14、得到直线与曲线C的公共点情况 典型例题 (2019广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)过点M(2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得QNMPNM？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由【解】(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线，其中p2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y24x.法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得|x1|，化简得y24x
15、，即动圆圆心C的轨迹E的方程(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件由QNMPNM可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPNkQN0.易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：xmy2，由，得y24my80.由(4m)2480，得m或m0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为yx1.(1)求E的方程；(2)已知过点(0，1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点，是否存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)法一：联立，消去y得x22px2p0.由题意得4p28p0.因为p0
16、，所以p2.故抛物线E的方程为x24y.法二：设M，由x22py得y，则y.由，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)假设存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立，则.由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设直线l1的方程为ykx1(k0)，则由，消去y得，x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|4(1k2)因为直线l1，l2的斜率之积为1，所以|CD|4.所以.所以存在常数，使得|AB|CD|AB|CD|成立练典型习题提数学素养1(2019武汉市调研测试)已知椭圆：1(ab0)的左顶点为M(2，0)，离心率为.(1)求椭圆的方
17、程；(2)过点N(1，0)的直线l交椭圆于A，B两点，当取得最大值时，求MAB的面积解：(1)由题意得a2，得c，所以a2b22，即4b22，所以b22，所以椭圆的方程为1.(2)当直线l与x轴重合时，不妨取A(2，0)，B(2，0)，则点M与点A重合，0，所以0.当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为xty1，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，由，得(t22)y22ty30，显然0，所以y3y4，y3y4，所以(x32)(x42)y3y4(ty33)(ty43)y3y4(t21)y3y43t(y3y4)9(t21)3t999.所以的最大值为，此时t0，l：x1，不妨取A，B，则|AB|
18、，又|MN|3，所以MAB的面积S|AB|MN|3.2(2019安徽五校联盟第二次质检)已知A，B是x轴正半轴上的两点(A在B的左侧)，且|AB|a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y22px(p0)在第一象限分别交于D，C两点(1)若ap，点A与抛物线y22px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围解：(1)由题意知A，则B，D，则C，又ap，所以kCD1.(2)设直线CD的方程为ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得ky22py2pb0，所以4p28pkb0，得kb0，y1y20，可知
19、k0，b0，因为|CD|x1x2|a，点O到直线CD的距离d，所以S1aab.又S2|x1x2|a，所以，因为0kb，所以00)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点(1)若p2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程；(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问：是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由解：(1)由题意知直线l的斜率存在且不为0，故设直线l的方程为x1t(y1)，即xty1t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y24ty44t0，所以16t21616t16(t2t1)0，y1y24t，所以4t2，即t.
20、所以直线l的方程为2xy10.(2)为定值2p，证明如下因为抛物线C：y22px(p0)，所以焦点F的坐标为.由题意知直线l的斜率存在且不为0，因为直线l过焦点F，故设直线l的方程为xty(t0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y22ptyp20，所以y1y22pt，4p2t24p20.所以x1x2t(y1y2)p2pt2p，所以M(pt2，pt)所以MN的方程为yptt(xpt2)令y0，解得xpt2，N(pt2，0)，所以|MN|2p2p2t2，|FN|pt2pt2p，所以2p.4(2019湖南省湘东六校联考)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点A(b，0)，B，F分别为椭圆
21、的上顶点和左焦点，且|BF|BA|2.(1)求椭圆C的方程；(2)若过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于G，H两点(G在M，H之间)，设直线l的斜率k0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由解：(1)设椭圆的焦距为2c，由离心率e得a2c.由|BF|BA|2，得a2，所以ab2.a2b2c2，由可得a24，b23，所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为ykx2(k0)，由得，(34k2)x216kx40，可知0，所以k.设G(x1，y1)，H(x2，y2)，则x1x2，(x1x22m，k(x1x2)4)，(x2x1，y2y1)(x2x1，k(x2x1)因为菱形的对角线互相垂直，所以()0，所以(1k2)(x1x2)4k2m0，得m，即m，因为k，所以m0(当且仅当4k时，等号成立)所以存在满足条件的实数m，m的取值范围为，0)高考资源网版权所有，侵权必究！
