1、第一部分 高考专题讲解 专题一 集合、函数与导数第四讲 导数与积分的概念及运算、导数的应用导数已成为高考命题的一个重要载体通过导数可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇，并且在求解导数应用方面的试题中可以渗透各种重要的数学思想方法，如：数形结合、分类讨论、等价转化等，因此导数的应用是高考的一个热点考情分析高考试题中对导数应用的考查，既有客观题，也有主观题，客观题侧重于对单调性和极值、最值的考查，主观题则侧重于导数的综合应用，即导数与函数、不等式、方程、数列、解析几何等的综合，在利用导数解决函数、方程、不等式等方面的综合问题时，要注意函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合等思想
2、方法的运用考情分析要点串讲1.可导函数中，x0为极值点，则f(x0)0，但是f(x0)0是x0为极值点的必要非充分条件例如，yx3在x0处f(0)0，但是f(x)在x0处无极值2求可导函数的单调区间的一般步骤：(1)确定定义域区间；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，得函数的递增区间；解不等式f(x)0，得函数的递减区间注意：当一个函数的递增或递减区间有多个时，不能盲目地将它们取并集3求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数f(x)在这个根处取
3、得极大值；如果在这个根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值4注意极值与最值的区别与联系：极值是在某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；而最大值、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值5用导数解决与恒成立有关的不等式问题通常与函数的最值或极值有密切的联系我们可以通过求最值把不等式恒成立转化为一个不等式进行求解6复合函数的求
4、导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导每次求导都针对着最外层，直到求到最里层为止所谓最里层是指可以直接应用基本公式进行求导的那一层7利用定积分可以更加方便地解决问题，因此要熟练掌握定积分的性质：(1)abkf(x)dxkabf(x)dx；(2)abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx；(3)abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中ac0的解集为()A(0，)B(1,0)(2，)C(2，)D(1,0)高频考点解析 f(x)2x24x2x2x2x2x1x2x(x0)，x0，x10.f(x)0 x20 x2.f(x)0的解集为(2，)答案 C类型二 定积分的概念
5、及运算【例2】(2011湖南)由直线x3，x3，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()A.12 B1 C.32 D.3解析 由定积分几何意义知 S3 3cosxsinx 33sin3sin3 3.答案 D类型三 利用导数研究函数的单调性【例3】已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如下图，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()解析 从图象可知，f(x)0，g(x)0，因此函数yf(x)，yg(x)都是单调递增函数又因为yf(x)是递减的，yg(x)是递增的，故根据导数的几何意义可知，yf(x)递增得慢，yg(x)递增得快，由此排除A和B.又f(x0)g(x0)，所以函数yf
6、(x)，yg(x)的图象在x0点处的切线的斜率相等，因此在x0处的切线应该是互相平行的，由此可知D选项正确答案 D点评 一般地，如果在区间I上f(x)0，那么yf(x)在I上单调递增，如果在区间I上f(x)0，函数f(x)alnxx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)在区间a,2a上的最小值解 1函数的定义域是0，又f由于faf2alna12ln2a12lnaln2，所以若e2a2，则faf2a，此时fxminfalna；若2af2a，此时fxminf2a12ln2a.综上所述：当02时，fxmin12ln2a.类型五 利用导数研究不等式问题及导数应用问题【例5】(石家庄毕业
7、班检测)已知函数f(x)x2eax(xR)，其中e为自然对数的底数，aR.(1)设a1，x1,1，求函数f(x)的最值；(2)若对于任意的a0，都有f(x)f(x)x2axa21aeax成立，求x的取值范围解(1)当a1时，f(x)x2ex，f(x)x(x2)ex.当x在1,1上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1,1时，f(x)maxf(1)e，f(x)minf(0)0.x1(1,0)0(0,1)1f(x)0f(x)e01e(2)f(x)x2eax，f(x)(2xax2)eax，原不等式等价于x2eax(2xax2)eaxx2axa21aeax，即(a1a)(x21)x23x，亦
8、即 a1ax23xx21.对于任意的 a0，原不等式恒成立，等价于 a1ax23xx21 对 a0 恒成立，对于任意的 a0，a1a2 a1a2(当且仅当 a1 时取等号)，只需x23xx21 2，即 x23x20，解之得 x2 或 x1.因此，x 的取值范围是(，21，)点评 一般地，若已知不等式在区间I上恒成立，求不等式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数，根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数求最值、数形结合等)进行求解首先进行分离参数，然后利用导数求出分离参数后不等式一边的函数(或代数式)的最大值(或最小值)，进而得到参数的取值范围，即当af(x)恒成立时，只需af(x)max；
9、当af(x)恒成立时，只需af(x)min.【探究】(2011山西太原模拟)烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染如图，已知A、B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比(比例系数为k)若C是AB连线上的点，设ACx km，C点的烟尘浓度记为y.(1)写出y关于x的函数表达式；(2)是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由解：(1)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，由ACx(0 x20)，可得BC20 x.依题意，点
10、C处的烟尘浓度y的函数表达式为y kx2k820 x2(0 x20)(2)对(1)中的函数表达式求导得y2kx316k20 x32k9x360 x21200 x8000 x320 x3.令y0，得(3x20)(3x2400)0，又0 x20，x203.当x(0，203)时，y0，当x203 时，y取得最小值故存在点C，当AC203 km时，该点的烟尘浓度最低.好方法好成绩1.导数与函数的单调性的关系 在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，得函数的递增区间；解不等式f(x)0，给出下列命题：过该函数图象上一点(2，f(2)的切线的斜率为 2
11、e2；函数f(x)的最小值等于2e；该方程f(x)0有四个不同的实数根；函数f(x)在(1,0)以及(1，)上都是增函数其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：当x0时，f(x)2ex2xex，所以f(2)2e2，故正确；画出函数f(x)的大致图象，如下图，可得正确，错误答案：C5(2011湖南)设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B.12C.52D.22解析：当t0时，g(t)不存在，即N点不存在t0，此时M(t，t2)，N(t，lnt)|MN|t2lnt，(t0)记h(t)t2lnt，则h(t)2t1t2t21t(t0)由h(t)0，解得0t0，解得t 22，且h220，当t 22 时h(t)有最小值h221212ln2，|MN|最小时t 22.答案：D高考专题训练四
