1、课时素养评价 十四一元二次不等式的应用 (15分钟35分)1.已知集合M=,N=x|x-3,则集合x|x1等于()A.MNB.MNC.R(MN)D.R(MN)【解析】选D.0(x+3)(x-1)0,故集合M可化为x|-3x1,将集合M和集合N在数轴上表示出来(如图),易知答案为D.【补偿训练】 不等式0的解集为 ()A.x|-1x2或2x3 B.x|1x3C.x|2x3D.x|-1x3【解析】选A.原不等式等价于解得-1x3,且x2.2.关于x的不等式0(其中a-1)的解集为()A.B.C.D.(-,-1)【解析】选D.原不等式变形,得(ax-1)(x+1)0,又因为a0,解得x,则原不等式的
2、解集为(-,-1).3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240),每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,即x2+50x-30 0000,解得x150或x-200(舍去).故生产者不亏本的最低产量是150台.4. “t-2”是“对任意正实数x,都有t2-tx+恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由于x+2 ,可知t2-t
3、2,解得-1t2.所以“t-2”是“-1t2”的必要不充分条件.5.已知x|ax2-ax+10=,则实数a的取值范围为.【解析】当a=0时,原不等式无实解,故符合题意.当a0时,ax2-ax+10无实解,即ax2-ax+10对一切实数R恒成立.所以解得,0a4.综上所述,实数a的取值范围是0,4.答案:0,4【补偿训练】 若不等式x2-4x+3m1.【解析】(1)原不等式可化为解得所以x-或x,所以原不等式的解集为.(2)方法一:原不等式可化为或解得或所以-3x0,化简得0,即0,所以(2x+1)(x+3)0,解得-3x2B.m2C.m2D.0m2【解析】选D.由题意知x2+mx+0对一切xR
4、恒成立,所以=m2-2m0,所以0m2.2.不等式2的解集为()A.x|x-2B.RC.D.x|x2【解析】选A.因为x2+x+10恒成立,所以原不等式x2-2x-20,所以(x+2)20,所以x-2.所以不等式的解集为x|x-2.3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30【解析】选C.设矩形的另一边长为y m,则由三角形相似知,=,所以y=40-x.因为xy300,所以x(40-x)300,所以x2-40x+3000,所以10x30.4.若不等式x2
5、+ax-20在区间1,5上有解,则a的取值范围是()A.B.C.(1,+)D.【解题指南】转化为二次方程与二次函数问题求解.【解析】选A.由=a2+80知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-20在1,5上有解,即25+5a-20,所以a-.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列结论错误的是()A.若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为RB.不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a1的解集为x0时才成立;B选项当a=b=0,c0时也成立;D选项x是大于0的.6.在一个限速40 km/h的
6、弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.则下列判断错误的是()A.甲车超速B.乙车超速C.两车均不超速D.两车均超速【解析】选ACD.由题意列出不等式S甲=0.1x甲+0.0112,S乙=0.05x乙+0.00510.分别求解,得x甲30,x乙40.由于x0,从而得x甲30 km/h,x乙40 km/h.经比较知乙车超过限速.三、填空题(每小题5分,共10分
7、)7.在R上定义运算:xy=x(1-y).若不等式(x-a)(x+a)1对任意的实数x都成立,则a的取值范围是.【解题指南】按照运算的定义,转化为不等式恒成立问题解决.【解析】根据定义得(x-a)(x+a)=(x-a)1-(x+a)=-x2+x+a2-a,又(x-a)(x+a)0对任意的实数x都成立,所以0,即1-4(a+1-a2)0,解得-a0的解集是(1,+),则=,关于x的不等式0的解集是.【解析】依题意,a0且-=1,所以=-1;不等式0可变形为(ax-b)(x-2)0,即x-(x-2)0,所以(x+1)(x-2)0,故x2或x-1.答案:-1x|x2四、解答题(每小题10分,共20分
8、)9.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对xR恒成立,求实数a的取值范围.【解析】因为a=2时,原不等式为-40,所以a=2时恒成立.当a2时,由题意得即解得-2a2.综上两种情况可知-2a2.【误区警示】失分点一:不能将不等式恒成立问题转化为不等式组求解.失分点二:没能对二次项系数分情况讨论使答案不准确.【补偿训练】 已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-10的解集为R,求实数a的取值范围.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,原不等式的解集为R或,所以a=1满足不等式的解集为R;当a2-10,即a1时,要使原不等式的解集为R,必须,即,解得:-a1.所以实数a的取值范
9、围是.10.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时0.75元/千瓦时,而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该城市电力成本价为0.30元/千瓦时).经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55x0.75),则新增用电量为千瓦时.依题意,有(x-0.3)a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.30,解此不等式
10、,得x0.6或x0.5,又0.55x0.75,所以0.6x0.75,因此,xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.1.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是()A.(-3,5)B.(-2,4)C.-1,3D.-2,4【解析】选C.因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a0可化为(x-1)(x-a)1时,不等式的解集为x|1xa,当a1时,不等式的解集为x|ax1,当a=1时,不等式的解集为,要使得解集中至多包含1个整数,则a=1或1a-1,所以实数a的取值范围是a-1,3,故选C.2.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根,求实数k的取值范围.【解析】要使原方程有两个负实根,必须满足:即所以所以-2k-1或k1.所以实数k的取值范围是k-2k-1或k1.
