1、课时素养评价 二十五平面的基本性质 (20分钟35分)1.下列命题:书桌面是平面;有一个平面的长是50 m,宽是20 m;平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为()A.1个B.2个C.3个D.0个【解析】选A.平面是无大小、无面积、无厚度,向四周无限延展的一个数学概念.【补偿训练】 两个平面若有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对【解析】选C.若三点在同一条直线上,则这两个平面相交或重合,若三点不共线,则这两个平面重合.2.已知平面与平面,都相交,则这三个平面可能的交线有()A.1条或2条B.2条或3条C.1条或3条D.1条
2、或2条或3条【解析】选D.当三个平面两两相交且过同一直线时,它们有1条交线;当平面和平行时,它们的交线有2条;当这三个平面两两相交且不过同一条直线时,它们有3条交线.3.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图所示,A,C,D均不正确,只有B正确.4.空间中有五个点,其中有四个点在同一平面内,但没有任何三点共线,这样的五个点确定_个平面.【解析】可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.答案:75.设平面与平面相交于l,直线a,直线b,ab=M,则M_l.【解析】因为ab=M,a,b,所
3、以M,M.又因为=l,所以Ml.答案:6.如图,梯形ABDC中,ABCD,ABCD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线,并说明理由.【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上,由于ABCD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.因为EAC,AC平面SAC,所以E平面SAC.同理,可证E平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,连接SE,直线SE是平面SBD和平面SAC的交线. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如果直线a平面,直线b平面,Ma,Nb,Ml,Nl,则()A.lB.lC.l=MD.l
4、=N【解析】选A.因为Ma,a,所以M,同理,N,又Ml,Nl,故l.2.如图,平面平面=l,A,B,C,Cl,直线ABl=D,过A,B,C三点确定的平面为,则平面,的交线必过()A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D【解析】选D.根据基本事实判定点C和点D既在平面内又在平面内,故在与的交线上.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体过点M,N,C1的截面图形是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,
5、NB=BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体过点M,N,C1的截面图形是五边形.4.已知空间中有A,B,C,D,E五个点,如果点A,B,C,D在同一个平面内,点B,C,D,E在同一个平面内,那么这五个点()A.共面B.不一定共面C.不共面D.以上都不对【解析】选B.若B,C,D共线,则这五个点不一定共面;若B,C,D不共线,则这五个点一定共面.【误区警示】做此题容易忽略B,C,D共线的情况致错,所以考虑问题要全面.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0
6、分)5.以下四个命题中,不正确的命题是()A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若两个平面有三个公共点,则这两个平面重合C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面【解析】选BCD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;若三点共线,则这两个平面相交或重合,B不正确;C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能异面;D不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上,空间四边形的四个顶点就不共面.6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1
7、C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在题图中,连接A1C1,AC,则ACBD=O,A1C平面C1BD=M.所以三点C1,M,O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以A,B,C均正确,D不正确.【光速解题】判断点共线或者共面问题时,要看从这些点出发的直线是否相交或者平行.三、填空题(每小题5分,共10分)7.若直线l与平面相交于点O,A,Bl,C,D,且ACBD,则O,C,D三点的位置关系是_.【解析】因为ACBD,所以AC与BD
8、确定一个平面,记作平面,则=直线CD.因为l=O,所以O.又因为OAB,所以O直线CD,所以O,C,D三点共线.答案:共线【补偿训练】 如图,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.则M,N,K三点的位置关系是_.【解析】因为MPQ,直线PQ平面PQR,MBC,直线BC平面BCD,所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,所以M在平面PQR与平面BCD的交线上.同理可证,N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.答案:共线8.空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定_个平面.【解析
9、】可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.答案:4四、解答题(每小题10分,共20分)9.用符号语言表示下列语句,并画出图形.(1)点A在平面内,点B不在平面内;(2)直线l在平面内,直线m不在平面内.【解析】(1)A,B,图形如图所示.(2)l,m,图形如图所示.10.已知:abc,la=A,lb=B,lc=C.求证:直线a,b,c和l共面.【证明】如图所示,因为ab,所以直线a与b确定一个平面,设为,因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B.又因为Al,Bl,所以由基本事实2可知l.因为bc,所以由基本事实1可知直线b与c确定一个平面,同理可知l.因为平面和平面都包含着直线
10、b与l,且lb=B,而由基本事实1的推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面与平面重合,所以直线a,b,c和l共面.1.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则()A.A,C,O1,D1四点共面B.D,E,G,F四点共面C.A,E,F,D1四点共面D.G,E,O1,O2四点共面【解析】选ACD.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1
11、的中点,所以O1在平面ACD1内,故A正确;因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面,故B错误;由已知可知EFAD1,所以A,E,F,D1四点共面,故C正确;连接GO2并延长,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1GE,所以G,E,O1,O2四点共面,故D正确.2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8 cm,M,N,P分别是AB,A1D1,BB1的中点,(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线,以及与平面BB1C1C的交线;(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于点Q,求PQ的长.【解析】(1)设M,N,P三点确定的平面为,则与平面AA1B1B的交线为直线MP,设MPA1B1=R,则RN是与平面A1B1C1D1的交线,设RNB1C1=Q,连接PQ,则PQ是所要画的平面与平面BB1C1C的交线.(2)正方体棱长为8 cm,B1R=BM=4 cm,又A1N=4 cm,B1Q=A1N,所以B1Q=4=(cm).在PB1Q中,B1P=4 cm,B1Q= cm,所以PQ= cm.
