1、2016-2017学年山东省淄博市临淄中学高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1抛物线y=x2的准线方程为()ABCD2命题p:x0R,p为()AxR,x2x+10BxR,x2x+10CxR,x2x+10DxR,x2x+103如果ab0,那么()Aab0BacbcCDa2b24命题p:若x=y=0,则x2+y2=0,如果把命题p视为原命题,那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为()A1个B2个C3个D4个5在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,“ab”是“sinA
2、sinB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件6已知等差数列an中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A64B31C30D157在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(ab)2+6,C=,则ABC的面积()A3BCD38已知x,y满足,且z=y2x的最大值是()A1B1C2D59已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线方程为x2y=0,则双曲线的方程为()AB=1CD10使x2xa2+a+10对任意实数x成立,则()A1a1B0a2CD11在公差为d,各项均为正整数的等差数列an中,若a1=1,an=51,则n+d的
3、最小值为()A14B16C18D1012已知椭圆C1: =1(ab0)与双曲线C2:x2=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点若C1恰好将线段AB三等分,则()Aa2=Ba2=3Cb2=Db2=2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分只要求填写最后结果13一元二次不等式x2x+6的解集为14在等比数列an中,若a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=4,则a7+a8+a9=15在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,a=1,b=,则B=16若不等式组,所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是三、解答题:
4、本大题共6小题,共70分解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,且a1=b1,a2=3,a3=9,a4=b14()求bn通项公式;()设cn=anbn,求数列cn的前n项和18如图,在ABC中,AC=10,BC=6,D是边BC延长线上的一点,ADB=30,求AD的长19已知直线l:y=k(xn)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)两点()若直线l过抛物线的焦点F,求x1x2的值;()若x1x2+y1y2=0,求n的值20已知数列an的前n项和()求数列an的通项公式;()若,求数列anbn2的前n项和Tn21某工厂
5、修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元设池底长方形的长为x米()求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;()怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?22设F1,F2分别是C: +=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b2016-2017学年山东省淄博市临淄中学高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共50
6、分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1抛物线y=x2的准线方程为()ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】把抛物线方程化为标准方程为x2=y,判断抛物线的焦点在y轴正半轴上,2P=1,可得准线方程【解答】解:由抛物线的标准方程为x2=y,得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线,2P=1,其准线方程是y=故选D2命题p:x0R,p为()AxR,x2x+10BxR,x2x+10CxR,x2x+10DxR,x2x+10【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题p:x0R,p为xR,x2x+10;故选:B3如果
7、ab0,那么()Aab0BacbcCDa2b2【考点】不等关系与不等式【分析】根据ab0,给a,b,c赋予特殊值,即a=2,b=1,c=0,代入即可判定选项真假【解答】解:ab0,给a,b,c赋予特殊值,即a=2,b=1,c=0选项A、B、D都不正确故选C4命题p:若x=y=0,则x2+y2=0,如果把命题p视为原命题,那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为()A1个B2个C3个D4个【考点】四种命题间的逆否关系【分析】可先判断出原命题与其逆命题的真假,根据四种命题的等价关系即可判断出真命题的个数【解答】解:“若x=y=0,则x2+y2=0”,是真命题,其逆命题为:“若
8、x2+y2=0,则x=y=0”是真命题,据互为逆否命题的两个命题真假相同,可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题,故真命题的个数为4,故选D5在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,“ab”是“sinAsinB”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据ab“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”(其中R为ABC的外接圆半径),即可判断出结论【解答】解:ab“2RsinA2RsinB”“sinAsinB”(其中R为ABC的外接圆半径)“ab”是“sinAsinB”的充要条件故选:C6已
9、知等差数列an中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A64B31C30D15【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解:设等差数列an的公差为d,a7+a9=16,a4=1,解得a1=,d=则a12=+11=15故选:D7在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若c2=(ab)2+6,C=,则ABC的面积()A3BCD3【考点】余弦定理【分析】根据条件进行化简,结合三角形的面积公式进行求解即可【解答】解:c2=(ab)2+6,c2=a22ab+b2+6,即a2+b2c2=2ab6,C=,cos=,解得ab=6,则三角形的面积S=absi
10、nC=,故选:C8已知x,y满足,且z=y2x的最大值是()A1B1C2D5【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由约束条件,作出可行域如图,联立,解得A(1,1),化目标函数z=y2x为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为12(1)=1故选:A9已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线方程为x2y=0,则双曲线的方程为()AB=1CD【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的焦距以及渐近线方程,推出a,b的方程,求解即可得
11、到双曲线方程【解答】解:双曲线的焦距为,可得c=,即a2+b2=5,双曲线的一条渐近线方程为x2y=0,可得a=2b,解可得a=2,b=1所求的双曲线方程为:故选:A10使x2xa2+a+10对任意实数x成立,则()A1a1B0a2CD【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质【分析】由x2xa2+a+10对任意实数x成立可得函数f(x)=x2xa2+a+1与x轴没有交点,从而有=14(a2+a+1)0,解不等式可求a的范围【解答】解:x2xa2+a+10对任意实数x成立即函数f(x)=x2xa2+a+1与x轴没有交点=14(a2+a+1)0即4a24a30(2a+1)(2a3)0解不等式可得,故
12、选:C11在公差为d,各项均为正整数的等差数列an中,若a1=1,an=51,则n+d的最小值为()A14B16C18D10【考点】等差数列的通项公式【分析】由等差数列通项公式得到d=,由等差数列的各项均为正整数,得到d只能是1,2,5,10,25,50,n相应取得51,26,11,6,3,2,由此能求出n+d的最小值【解答】解:由a1=1,得到an=a1+(n1)d=1+(n1)d=51,即(n1)d=50,解得:d=,因为等差数列的各项均为正整数,所以公差d也为正整数,因此d只能是1,2,5,10,25,50,此时n相应取得51,26,11,6,3,2,则n+d的最小值等于16故选:B12
13、已知椭圆C1: =1(ab0)与双曲线C2:x2=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点若C1恰好将线段AB三等分,则()Aa2=Ba2=3Cb2=Db2=2【考点】椭圆的简单性质;圆锥曲线的综合【分析】先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a,利用椭圆与双曲线有公共的焦点,得方程a2b2=5;设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:;对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x,根据C1恰好将线段AB三等分得:2x=,从而可解出a2,b2的值,故可得结论【解答】解:由题意,C2的焦点为
14、(,0),一条渐近线方程为y=2x,根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2aC1的半焦距c=,于是得a2b2=5 设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为(x,2x),代入C1的方程得:,由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2x,由题得:2x=,所以由得a2=11b2由得a2=5.5,b2=0.5 故选C二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分只要求填写最后结果13一元二次不等式x2x+6的解集为(2,3)【考点】一元二次不等式的解法【分析】先将原不等式x2x+6可变形为(x3)(x+2)0,结合不等式的解法可求【解答】解:原不等式可变形为(x3)(x+2)0所以,2x3故答案为
15、:(2,3)14在等比数列an中,若a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=4,则a7+a8+a9=2【考点】等差数列的性质;等比数列的通项公式;等比数列的前n项和【分析】由数列an是等比数列,则S3,S6S3,S9S6也成等比数列,结合已知条件可求a7+a8+a9【解答】解:设a7+a8+a9=m,数列an是等比数列,且a1+a2+a3=8,a4+a5+a6=4,(4)2=8m,m=2故答案为:215在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,a=1,b=,则B=或【考点】余弦定理【分析】利用正弦定理列出关系式,将a,sinA,b的值代入求出sinB的值,即可确定出B的度数【
16、解答】解:在ABC中,A=,a=1,b=,由正弦定理=得:sinB=,ab,AB,B=或故答案为:或16若不等式组,所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,再利用几何意义求面积即可【解答】解:不等式组,所表示的平面区域如图示:由图可知,直线y=kx+恒经过点A(0,),当直线y=kx+再经过BC的中点D(,)时,平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,当x=,y=时,代入直线y=kx+的方程得:k=;故答案为:三、解答题:本大题共6小题,共70分解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤17
17、已知数列an是等比数列,数列bn是等差数列,且a1=b1,a2=3,a3=9,a4=b14()求bn通项公式;()设cn=anbn,求数列cn的前n项和【考点】数列的求和;等差数列与等比数列的综合【分析】(I)利用等比数列、等差数列的通项公式即可得出(II)利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出【解答】解:()设等比数列an的公比为q,则,所以,a4=a3q=27,所以3分设等比数列bn的公比为d,因为a1=b1=1,a4=b14=27,所以1+3d=27,即d=2,所以bn=2n16分()由()知,bn=2n1,所以7分从而数列cn的前n项和=10分18如图,在ABC中,AC=10,BC=
18、6,D是边BC延长线上的一点,ADB=30,求AD的长【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理,求出ACB=60,ACD=120,在ACD中,AC=10,ADB=30,ACD=120,利用正弦定理可得结论【解答】解:在ABC中,AB=10,AC=14,BC=6,由余弦定理得,所以ACB=60,ACD=120,在ACD中,AC=10,ADB=30,ACD=120,8分由正弦定理得,所以12分19已知直线l:y=k(xn)与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)两点()若直线l过抛物线的焦点F,求x1x2的值;()若x1x2+y1y2=0,求n的值【考点】直线与抛物线的位
19、置关系【分析】()求出抛物线焦点,直线l方程为y=k(x1)(k0),代入y2=4x利用韦达定理求出x1x2的值即可()通过消去x利用韦达定理,通过x1x2+y1y2=0,转化求解n即可【解答】解:()由题设知,抛物线焦点F(1,0),2分于是直线l方程为y=k(x1)(k0),代入y2=4x得k2x22(k2+2)x+k2=0,4分显然=4(k2+2)24k4=4(k2+1)05分由根与系数的关系得6分()显然k0,由消去x得由题设,即1+nk20由根与系数的关系,得,y1y2=4n,10分又x1x2+y1y2=0,得y1y2=16,由得n=4,代入式检验成立,所以n=412分20已知数列a
20、n的前n项和()求数列an的通项公式;()若,求数列anbn2的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】(I)利用递推关系即可得出(II)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出【解答】解:()因为Sn=n2+2n,所以当n2时,an=SnSn1=n2+2n(n1)2+2(n1)=2n+13分当n=1时,a1=S1=12+21=3,满足上式4分故an=2n+15分()因为bn=2n所以anbn2=(2n+1)4n,6分其前n项和:Tn=34+542+743+(2n1)4n1+(2n+1)4n8分两边乘以4得:4Tn=342+543+(2n1)4n+(2n+1)4n+1由得:3Tn=34+2
21、42+243+24n(2n+1)4n+1=11分所以Tn= 12分21某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元设池底长方形的长为x米()求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;()怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【考点】函数模型的选择与应用【分析】()分析题意,本小题是一个建立函数模型的问题,可设水池的底面积为S1,池壁面积为S2,由题中所给的关系,将此两者用池底长方形长x表示出来()此小题是一个花费最小的问题,依题意,建立起总造价的函数解析式,由解析式的结构发现,此函数的最小值可用基本不等式求最值
22、,从而由等号成立的条件求出池底边长度,得出最佳设计方案【解答】解:()设水池的底面积为S1,池壁面积为S2,则有(平方米)2分池底长方形宽为米,则S2=8x+8=8(x+)6分()设总造价为y,则y=1201 600+1008(x+)192000+64000=2560009分当且仅当x=,即x=40时取等号10分所以x=40时,总造价最低为256000元答:当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元12分22设F1,F2分别是C: +=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若
23、直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b【考点】椭圆的应用【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论【解答】解:(1)M是C上一点且MF2与x轴垂直,M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),若直线MN的斜率为,即tanMF1F2=,即b2=a2c2,即c2+a2=0,则,即2e2+3e2=0解得e=或e=2(舍去),即e=()由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y),(y0),则,即,解得y=,OD是MF1F2的中位线,=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设N(x1,y1),由题意知y10,则(c,2)=2(x1+c,y1)即,即代入椭圆方程得,将b2=4a代入得,解得a=7,b=2017年3月5日