1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知直线l的方程为yx1，则直线l的倾斜角为()A30B45C60D135D由题意可知，直线l的斜率为1，故由tan 1351，可知直线l的倾斜角为135.2已知空间向量a(t,1，t)，b(t2，t,1)，则|ab|的最小值为()ABC2D4C|ab|2，故选C.3若方程x2y24x2y5k0表示圆，则实数k的取值范围是()ARB(，1)C(，1D1，)B由方程x2y24x2y5k0可得(x2)2(y1)255k，此方程表示圆，则55k0，解
2、得k0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_，|AB|_.22如图，过O点作ODAB于D点，在RtDOB中，DOB60，DBO30，又|OD|1，r2|OD|2.|AB|22.16已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1.A(1,0,0)，E，F，所以，易知平面ABC的一个法向量为n1(0,0,1)设平面AEF的一个法向量为n2(x，y，z)，则即取x1，则y1，z3，故n2(1，1,3)所以cosn1，n2.所以平面AEF
3、与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，则sin ，所以tan .四、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)求经过两点A(1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程. 解线段AB的中点为(1,3)，kAB，弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)，即y2x1.由得(0,1)为所求圆的圆心由两点间距离公式得圆半径r为，所求圆的方程为x2(y1)210.18(本小题满分12分)在三棱柱ABOABO中，AOB90，侧棱OO平面OAB，OAOBOO2.若点C为线段OA的中点，在线段BB上求一点E，使|EC|最小解如图所示，以三棱柱的O点为
4、坐标原点，以OA，OB，OO所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.由OAOBOO2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A(2,0,2)，B(0,2,2)，O(0,0,2)由C为线段OA的中点，得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|，故当z1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB的中点19(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)
5、的条件下求F1MF2的面积解(1)因为离心率e，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，所以双曲线方程为x2y26.(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，所以32m26，所以m23，又易知双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，所以(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，所以MF1MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上(3)S|2c|m|46.20(本小题满分12分)已知两直线ax2y2a40和2x(1a2)y22a20，当a在区间(0,2)内变化时，求两直线与两坐标轴围成的四边形面积的最小值解解方程
6、组得所以两直线的交点为C(2,2)又由两直线方程及a的范围可知，直线ax2y2a40在x轴上的截距小于0，在y轴上的截距大于0，设其交y轴于点A，直线2x(1a2)y22a20在x轴上的截距大于0，设其交x轴于点B，如图所示，连接OC.在2x(1a2)y22a20中，令y0，得xB1a2；在ax2y2a40中，令x0，得yA2a.所以S四边形AOBCSAOCSOBCyAxCyCxByAxBa2a3.又a(0,2)，所以当a时，四边形AOBC的面积取最小值，为.21(本小题满分12分)在如图所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2
7、，Q是AD的中点(1)求证：直线AE平面FQC；(2)求二面角AFCB的大小解(1)证明：AFBE，ADBC，AF与AD交于点A，BE与BC交于点B，平面ADF平面BCE，又EFABCD，几何体ADFBCE是三棱柱又ABBE，ABBC，BEBCB，AB平面BCE，几何体ADFBCE是直三棱柱又四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，EFABDC且EFABDC，四边形DCEF为矩形连接DE，交FC于点P，连接PQ.P是DE的中点，Q是AD的中点，PQ是三角形DAE的中位线，PQAE.AE平面FQC，PQ平面FQC，直线AE平面FQC.(2)平面ABCD平面ABEF，ABBC，BC平面ABEF，
8、BCBE.AB，BC，BE两两垂直以B为原点，BA，BC，BE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(0,0,0)，Q(2,1,0)，F(2,0,2)，C(0,2,0)，A(2,0,0)，(0,2,0)，(2,0,2)设平面BFC的法向量为m(x，y，z)，则取z1，m(1,0，1)同理可得平面AFC的一个法向量n(1,1,0)，cosm，n，记二面角AFCB的大小为，依题意知为锐角，cos ，解得，即二面角AFCB的大小为.22(本小题满分12分)已知椭圆E：1(ab0)经过点P(2,1)，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直
9、线PM，PN分别交椭圆于A，B.探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由解(1)由椭圆的离心率e，则a24b2，将P(2,1)代入椭圆1，则1，解得：b22，则a28，椭圆的方程为：1；(2)当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为ykxt，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得(14k2)x28ktx4t280，则16(8k2t22)0，x1x2，x1x2，又直线PA的方程为y1(x2)，即y1(x2)，因此M点坐标为，同理可知：N，由，则0，化简整理得：(24k)x1x2(24k2t)(x1x2)8t0，则(24k)(24k2t)8t0，当且仅当t2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q(0，2)
