1、【高效整合篇】 专题四 数列一考场传真1. 【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】公差，解得=，故选B.2【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若，则 .【答案】63【2015高考福建，文16】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于_【答案】9【解析】由韦达定理得，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以4【2015
2、高考安徽，文13】已知数列中，（），则数列的前9项和等于 .【答案】27【解析】时，为首项，为公差的等差数列，5【2015高考福建，文17】等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设，求的值6【2015高考湖南，文19】设数列的前项和为，已知，且，（I）证明：；（II）求。【解析】（I）由条件，对任意，有，因而对任意，有，两式相减，得，即，又，所以，故对一切，。（II）由（I）知，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，数列是首项，公比为3的等比数列，所以，于是 ，从而，综上所述，。二高考研究【考纲解读】（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)（2）理解等差数列和等比数
3、列的概念（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，在实际情形中运用数列知识解决实际问题.（5）了解等差数列与一次函数的关系以及等比数列与指数函数的关系.（6）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（7）认识数列的函数特性，能结合方程、不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题【命题规律】（1） 对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前n项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（2）对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题
4、，属中低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（3）数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据与的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点选择、填空、解答题都有出现.（4）数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.（5）数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现.（6）数列与解析几何交汇主要涉及点列问题，难度中等及以上，常以解答题形式出现.（7）数列应用题主要以
5、等差数列、等比数列及递推数列为模型进行考查，难度中等及以上，常以解答题形式出现.一基础知识整合1. 等差数列知识要点：（1）通项公式要点：.（2）前项和公式要点：Snna1d.（3）通项公式的函数特征：是关于的一次函数形式(A、B为常数)，其中；前项和公式的函数特征：是关于的常数项为0的二次函数形式SnAn2Bn (A、B为常数)，其中.（4）判断方法：定义法：；（证明方法）等差中项法：；（证明方法）通项公式法：；前项和公式法：SnAn2Bn (A、B为常数).（5）常用性质：如果数列是等差数列（），特别地，当为奇数时，.等差数列an的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数
6、列.等差数列an，bn的前n项和为An，Bn，则.等差数列an的前n项和为Sn，则数列仍是等差数列.（6）等差数列的单调性设等差数列的公差为，当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；若，则数列为常数数列.（7）等差数列的最值若是等差数列，求前项和的最值时，若，且满足，则前项和最大;若，且满足，则前项和最小.2. 等比数列知识要点：（1）通项公式要点：.（2）前项和公式要点：.（3）通项公式的函数特征：是关于的函数（，都是不为0的常数，）；前项和公式的函数特征：前项和是关于的函数（为常数且，）.（4）判断方法：定义法：（）；（证明方法）等比中项法：；（证明方法）通项公式法：；前项和公式法：或
7、.（5）常用性质：如果数列是等比数列（），特别地，当为奇数时，.等比数列的前项和为，满足成等比数列（其中均不为0）.（6）等差数列的单调性设等比数列的公差为，当或时，为递增数列；当或.（7）等差与等比数列的转化若为正项等比数列，则为等差数列；若为等差数列，则为等比数列；若为等差数列又等比数列是非零常数列.3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）解法：一般利用待定系数
8、法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8） 取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.（10）已知求(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解.（11） 解法：如果数列满
9、足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列.4. 数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分或.（2）倒序相加法：如果一个数列，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，
10、分别求和而后相加减（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式如下：分式型;， 乘式型阶乘型 ,三角函数型, 根式型（6）并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和二高频考点突破考点1 等差数列、等比数列的通项及基本量的求解【例1】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则（ ）（A） （B
11、） （C） （D）【答案】A【规律方法】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现【举一反三】【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列，且，则=（ ）A1 B8 C4 D2【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则由题意，得，解得或（舍去），所以，故选B考点2 等差数列、等比数
12、列的性质【例2】 【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】等差数列的前n项和为，若，则的值为（ ）（A）28 （B）42 （C）56 （D）14【答案】A【解析】因为，所以，则；故选A【规律方法】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别等差数列（或等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑等差数列性质（）（），以及.【举一反三】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】由等比数列的性质知，所以，
13、故选C考点3 判断和证明等差数列、等比数列【例3】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设数列满足：.（）求证：数列是等比数列；（）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.【解析】（）因为， ， ，得，即，又因为，所以.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（）由（）知，即，所以.由，可得.由可得，所以.故有最大值，所以对任意，有，所以，即.则，所以，解得或，所以的取值范围是【规律方法】(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列；q(q是非零常数)an是等比数列；(2)等差(比)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*，an0)
14、an是等比数列；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an是等比数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；SnAqnA(A为非零常数，q0,1)an是等比数列.【举一反三】【重庆南开中学高2015级高三9月月考】在数列中，（）（1）求的值；（2）是否存在常数，使得数列是一个等差数列？若存在，求的值及的通项公式；若不存在，请说明理由【解析】（1），；（2）假设存在满足条件的常数，则常数又 此时 考点4 等差数列与等比数列的综合应用【例4】【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】若等比数列的
15、各项均为正数，且，则_【答案】50【解析】因为数列为等比数列，且，故答案应填：50【规律方法】等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然是“基本量”方法，其通过方程或者方程组求出数列的基本量，然后再解决后续问题【举一反三】【河南许昌平顶山新乡三市2015届10月高三第一次调研】.已知正项数列的前项的乘积，则数列的前项和中的最大的值是 A、 B、 C、 D、【答案】D考点5 一般数列的性质【例5】设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则( )A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列错误！未找到
16、引用源。C.S2n1为递增数列，S2n为递减数列D.S2n1为递减数列，S2n为递增数列分析：根据b1c12a1，b1c1，可以设，再利用海伦秦九韶公式表示出，比较它们之间的大小，即可判断出Sn为递增数列.解析：因为，不妨设，；故；，；显然；同理，显然.故选B.【规律方法】（1）在处理数列单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列恒成立”；（2）数列的单调性与的单调性不完全一致；（3）当数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.【举一反三】已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（ ） 【答案】D考点6 一般数列的通项及求和【例6】【201
17、6届河北省衡水二中高三期中】的值为（ ）A B C D【答案】B【解析】设原式= 故答案选【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【举一反三】【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】在数列an中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值（nN*），且，则数列an的前100项的和S100=（ ）A132 B299 C68 D99【答案】
18、B考点7 存在探索与证明性问题【例7】2016届江苏省清江中学高三上第十八周周练已知数列中，（为非零常数），其前n项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求的值；（3）是否存在实数，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由分析:(1)先由得， ，两式相减整理得， 再相减化为，故是等差数列，；(2)先求出代入整理得，只有且，解得；(3)先排除的情况，再求得时有，再由对任意正数成立可得 ，最后验证得【解析】（1）由已知，得，则有，即，两式相加，得，即，故数列是等差数列，又， （2）若，则，由，得，即，43是质数，解得； （3）由，得，若
19、，则，不合题意，舍去；若，则不等式成立的最大正整数解为，即对任意正整数都成立，解得，此时，解得，故存在实数满足条件，与的取值范围是.【规律方法】解决探索性问题的一般解题思路：先假设结论存在，若推理无矛盾，则结论确定存在；若推理有矛盾，则结论不存在解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳、猜想问题的能力，这正是“以能力立意”的生动体现【举一反三】【2016届江苏省扬州中学高三12月月考】已知数列为等差数列，的前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立（）求数列、的通项公式；（）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解析】（）法1：设数列的公
20、差为，数列的公比为因为令分别得，又,所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去所以 法2：因为 对任意的恒成立,则（） 得，又，也符合上式，所以 ,由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即对于恒成立，所以又，所以，故（）由，得，设，则不等式等价于，且，数列单调递增假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则当为奇数时，得； 当为偶数时，得，即综上，由是非零整数，可知存在满足条件考点8 数列与不等式的综合应用【例8】【2016届福建省厦门一中高三上学期期中】已知等比数列的前项和为，成等差数列，且 （）求的通项公式； （）求，并求满足的值【规律方法】证明数列中的不等式常转化为求
21、数列的前n项和，一般把数列前n项和分两部分：一部分是要证明的常数；一部分是关于n的表达式注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.【举一反三】【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列的前项和为,若（）,且（）求证：数列为等差数列；（）设,数列的前项和为,证明:（）【解析】（）由题设,则，当时，,两式相减得, 方法一：由，得，且则数列是常数列，即，也即,所以数列是首项为,公差为的等差数列;方法二：由，得，两式相减得,且,所以数列等差数列（）由（）得,当时,成立；当时, 所以综上所述,命题得证 考点9数列与函数的交汇问题【例9】【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】已知数列
22、中，函数（1）若正项数列满足，试求出，由此归纳出通项，并加以证明；（2）若正项数列满足（nN*），数列的前项和为Tn，且，求证：分析：（1）由递推公式依次可求得，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式变形为，则数列是等比数列；（2）要与（1）进行联系，首选函数，因此在上是增函数，可妨（1）进行归纳，也可把变形为，由累乘法得：，从而得，即，最终有，这样可用裂项相消法求出（放缩后），证得结论（2）（nN*），累乘得：，即，【规律方法】数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上满足某种关系，或是给出Sn的表达式，Sn与an的关系，还有以曲线上的切点为背景的
23、问题，求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应，将条件进行准确的转化即可【举一反三】【2015高考陕西】设(I)求；(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【解析】(I)由题设，所以 由 得，所以 (II)因为，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得，故，所以三错混辨析1. 忽视n的取值范围致误 【例1】已知数列an中，a11，前n项的和为Sn，对任意的自然数n2，an是3Sn4与2Sn1的等差中项求通项an.【错原】忽视了成立的前提n2，只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证是否等于，这种在
24、解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视【正解】由已知，当n2时， 又anSnSn1，得an3Sn4(n2)，an13Sn14，以上两式相减得an1an3an1，a2，a3，an，成等比数列，其中a23S243(1a2)4.即a2，q，当n2时，.2. 求等比数列的公比时忽视隐含条件致误【例2】已知一个等比数列的前四项之积为，第2,3项的和为，求这个等比数列的公比【错原】设这四个数为，aq，aq2，公比为q2，就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么同为负，但题中可以为负！【正解】依题意，设这四个数为a，aq，aq2，aq3，则解得q32或q52.3.
25、解数列问题时由思维定势导致错误 【例3】已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是（ ）A(，1B(，0)(1，)C3，) D(，13，)【错原】默认，遗漏当时的情况所以需要分为正、负两种情况【正解】因为等比数列an中a21，所以；当公比q0时，；当公比q0时，；所以S3(，13，)故选D.1. 已知数列中，则 【答案】2. 设分别是等差数列的前n项和，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据等差数列的前项和公式知和为：，所以设，所以当时，所以， ，所以答案为D. 3. 数列中，是的个位数字，是的前项和，则( )A B C D【答案】A【解析】由题意得，是的个位数字，所以，而，再由题意可得：，依此类推，, 从第1项开始，所以我们可以根据以上的规律看出数列是一个周期为6的数列，而，所以.4. 已知数列是各项均为正整数的等差数列，公差，且中任意两项之和也是该数列中的一项，若，则的所有可能取值的和为 .【答案】5. 已知等差数列单调递增，且 ，都在函数的图象上.（）求数列的通项公式和前项和为；（）设，求数列的前项和.【解析】（）由题意可知，是方程，即的两个不等的实根.所以，解得或.又因为数列单调递增，所以.所以该数列的公差，故其通项公式为.所以前项和为.（）由（）知，.所以 （1）当为偶数时， （2）当为偶数时，由（1）知，.综上，.或.
