1、专题 34 逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于()f x、()fx，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数.2.常见的构造函数:对于()()0(0)xfxf x，构造()()h xxfx；一般的，对于()()0(0)xfxnf x，构造()()nh xx f x 对于()()0(0)xfxf x，构造 xxfxh；一般的，对于()()0(0)xfxnf x，构造()()nf xh xx 对于()()0(0)fxf x，构造 xexfxh；一般的，对于()()0(0)fxnf x，构造()()nxf xh xe 对于()()0(0)fxf x，构造 xfexhx；
2、一般的，对于()()0(0)fxnf x，构造()()nxh xef x 对于()()tan()()tan)fxf xxfxf xx或，即()cos()sin0(0)f xxf xx，构造()()cosh xf xx 对于()cos()sin0(0)fxxf xx，构造()()cosf xh xx 对于()0()fxf x，构造()ln()h xf x.对于()ln()0(0)fxaf x，构造()()xh xa f x.对于()()ln0(0)f xfxxx，构造()()lnh xf xx.【典型题示例】例 1 已 知 偶 函 数()f x(x 0)的 导 函 数 为()fx，(e)ef，当
3、 x 0 时，()2()0 xfxf x，则使21(1)(1)ef xx成立的 x 的取值范围是 （其中 e 为自然对数的底数）【答案】,11,ee 【分析】利用()2()0 xfxf x构造函数2()()f xF xx，再使用函数的单调性、奇偶性即可.【解析】设2()()f xF xx，则243()2()()2()()fx xxf xfx xf xF xxx x0 时，()2()0 xfxf x 当 x0 时，()0F x，故()F x 在（0，+）单增 又(e)ef，所以1()F ee()f x 是偶函数 ()F x 也是偶函数，且()F x 在（，0）单减 21(1)(1)ef xx等价
4、于2(1)1(1)ef xx，即(1)()F xF e 由()F x 是偶函数且()F x 在（0，+）单增 得1xe，解之得11xexe 或.例 2 已知定义域为 R 的函数()f x 的导函数为()fx，且3()2()xxfxx ef x，若 f（2）244e，则函数()()4g xf x的零点个数为()A1 B2 C3 D4【答案】B 【分析】由3()2()xxfxx ef x的结构特征，逆向使用导数的四则运算法则构造函数，求出()f x 的解析式.【解析】由3()2()xxfxx ef x，可得24()2()xx f xxf xx e，则24()2()xx fxxf xex，即2()(
5、)xf xex，设2()xf xeCx，2()()xf xx eC，又 f（2）244e，所以22444()eeC，所以1C ，所以2()(1)xf xx e，所以2()()4(1)4xg xf xx e，2()2(1)(22)xxxxg xx ex ex xee，令()22xxh xxee，()2(3)xxxxh xexeexe，令()0h x，得3x ，当(,3)x 时，()0h x，()h x 单调递减，当(3,)x 时，()0h x，()h x 单调递增，所以()h x 的最小值为3(3)20he，则对于()(22)xxg xx xee，令()0g x，可得0 x，令()0g x，可得
6、0 x，所以()g x 在(,0)上单调递减，在(0,)上单调递增，所以()g x 的最小值为(0)40g ，当 x 时，()g x，当 x 时，()g x，所以函数()g x 的零点个数为 2 故选：B 点评：作为选择题，求出2()(1)xf xx e后，欲判断零点个数，直接分离函数241xex 转化为1xye 与24yx交点的个数，则秒杀！例 3 函数)(xf的定义域为 R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为 .【答案】（1，+）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知
7、中2)(xf，只需构造函数()g x，使得()()2g xfx，不难得到()()2g xf xxc（这里c 为常数，本题中取0c），进而利用()g x 的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数()()2g xf xx，则()g x()20fx，故()g x 单调递增，且(1)(1)214gf （）.另一方面所求不等式42)(xxf，就转化为()()(1)g xf xxg，逆用单调性定义易知1x，则不等式的解集为(1,).例 4 设 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且满足 f(x)xf(x)0，则不等式f(x1)x1f(x21)的解集为_【答案】1,2)【解析】设 F(x)xf(x)
8、，则由 F(x)f(x)xf(x)0，可得函数 F(x)是 R 上的增函数 又x10，由 f(x1)x1f(x21)可变形得x1f(x1)x21f(x21)，即 F(x1)F(x21)，x1 x21，x1，解得 1x1，则不等式 exf(x)ex1 的解集为_ 9.已知定义在 R 上的奇函数 f x，设其导函数为 fx，当,0 x 时，恒有 xfxfx，则满足 1 212133xfxf的实数 x 的取值范围是 10.设奇函数 f(x)定义在(，0)(0，)上其导函数为 f(x)，且 f(2)0，当 0 x时，f(x)sinxf(x)cosx0，则关于 x 的不等式 f(x)2f(6)sinx
9、的解集为 11.已知()f x 是定义在 R 上的奇函数，记()f x 的导函数为()fx，当0 x 时，满足()()0fxf x，若存在 xR，使不等式2(22)()xxf e xxf aex成立，则实数 a 的最小值为_.()f x()fxxR【答案与提示】1.【答案】CD【分析】结合已知可构造()()cosf xg xx，10,)2x，结合已知可判断()g x 的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断【解答】令()()cosf xg xx，10,)2x，因为()cos()sin0fxxf xx，则2()cos()sin()0fxxf xxg xcos x，故()g x 在0，1)2 上
10、单调递减，因为(0)0f，则()0f x，结合选项可知，()()64gg，从而有()()643222ff，即6()()624ff，故 A 错误，因为103ln ，结合()g x 在在0，1)2 上单调递减可知1()03g ln ，从而有1()301cos3f lnln，由1cos03ln 可得1()03f ln ，故 B 错误；1()()63gg，从而有1()()631322ff，且1()03f，即11()3()2()633fff故C正确；1()()43gg，从而有1()()341222ff 即1()2()43ff故 D 正确 故选：CD 2.【答案】B【解析】令()()g xf x lnx，
11、则()()()0f xg xfx lnxx，()g x在(0,)时单调递增，又 g（1）f（1）10ln，(0,1)x 时，()0g x，(1,)x 时，()0g x，当(0,1)x时，0lnx，()0g x，()0f x，(1,)x 时，0lnx，()0g x，()0f x，()0f x在(0,)上恒成立，又()f x 是奇函数，(0)0f，()0f x在(,0)上恒成立，当0 x 时，()0f x，210 x，即01x，当0 x 时，()0f x，210 x，即1x ，由得不等式的解集是(，1)(0，1)，故选：B 3.【答案】C【解析】函数()f x 是定义在(1,)上的连续函数，()(
12、)(1)1f xfx ln xxx，令()()(1)g xf x ln x，则()()()(1)1f xg xfx ln xxx，21()(2g xxc c为常数），函数()f x 是连续函数，且在0 x 处存在导数，(0)(0)10gfln，0c，21()2g xx，21()()(1)2g xf x ln xx，2()2(1)xf xln x，2221()2(1)2(1)(1)2(1)12(1)(1)xxfxxln xxln xxlnxxxlnx，令()2(1)(1)h xxln xx，则()2(1)1h xln x，令()0h x，则eexe，当 1eexe 时，()0h x，此时()h
13、x 单调递减；当eexe时，()0h x，此时()h x 单调递增，当1x 时，()10h x ，()0eehe，0(1,)eexe 使0()0h x，又(0)0h，函数()h x 在(1,)的两个零点，分别为0 x 和 0，当1x 时，令()0fx，则0 xx，当0 xx时，()0fx，当01xx 时，()0fx，()f x在0(x，)上单调递增，在0(1,)x上单调递减，()f x在(1,)上有极小值，无极大值故选：C 4.【答案】D【解 析】构 造 函 数()()()0 xf xf xxfx，于 是 该 函 数 递 减，2(1)(1)(1)f xxf x变形为22(1)(1)(1)(1)
14、xf xxf x，于是22101011xxxx ，得2x，选 D.5.【答案】A【解析】构造函数 1f xg xx，当1,x 时，2101fxxf xgxx，即函数 g x 单调递增，则 2222 1fafg，313323 1fbfg，2212221fcfg 则 223ggg，即cab，选 A 6.【答案】A【解析】由 tanfxf xx得 cossin0fxxf xx，构造函数 cosF xf xx，则 0Fx，故 F x 单调递增，有coscos666333FffF故选 A 7.【答案】B【解析】令 xf xh xe,则 22()xxxxxxxfx ef xefx ef x efxf xh
15、xeee,因为 0fxf xfxf x,所以在 R 上 0h x 恒成立.即函数 h x 在 R 单调递增.因为ln3ln2,所以 ln3ln2hh 即ln3ln 2ln3ln 2ln3ln 22ln33ln 232ffffffee.答案选 B 8.【答案】(0，)【解析】构造函数 g(x)exf(x)ex，因为 g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以 g(x)exf(x)ex为 R 上的增函数又因为 g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为 g(x)g(0)，解得 x0.9.【答案】1,2 10.【答案】(6，0)(6，)【分析】这是一道难度较大的
16、填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于 y 轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(fg)fgfgg2，(sinx)cosx，于是本题的本质是构造f(x)sinx来解不等式【解析】设 g(x)=f(x)sinx，则 g(x)=(f(x)sinx)f(x)sinxf(x)cosxsin2x，所以当 0 x时，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递减 又由于在(0，)上 sinx0，考虑到 sin612，所
17、以不等式 f(x)2f(6)sinx 等价于f(x)sinxf(6)sin6，即 g(x)g(6),所以此时不等式等价于6x.又因为 f(x)、sinx 为奇函数，所以 g(x)是偶函数，且在(，0)上 sinx0，所以函数 g(x)在(，0)是单调递增函数，原不等式等价于 g(x)g(6)=f(6)sin(6)，所以此时不等式等价于6x0，综上，原不等式的解集是(6，0)(6，)11.【答案】11e【解析】令()()(0)xf xg xxe，则()()()0 xf xf xg xe（当0 x 时，满足()()0)fxf x，从而()g x 在0，)上单调递增，所以当0 x 时，()()(0)
18、0 xf xg xge，从而当0 x 时，()0f x；当0 x 时，()0f x （当0 x 时取等号），又当0 x 时，()()0fxf x，即()()0fxf x，所以()f x 在0，)上单调递增，由于()f x 是定义在 R 上的奇函数，从而()f x 在(,)上单调递增；不等式222(22)()(22)22xxxxxf e xxf aexe xxaexa xxxe剟?令2()22xh xxxxe，则原问题等价于()a h x有解，从而()mina h x，()22()(1)(2)xxxh xxexexe，()h x在(,1)上单减，在(1,)上单增，1()(1)1mina h xhe，所以 a 的最小值为11e
