1、考点规范练 56 变量间的相关关系、统计案例 基础巩固 1.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位:)的关系,在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,20)得到下面的散点图:由此散点图,在 10 至 40 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是()A.y=a+bx B.y=a+bx2 C.y=a+bex D.y=a+bln x 答案:D 解析:结合题中散点图,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数模型,故应该选用的函数模型为 y=a+blnx.2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的
2、计算中,下列说法正确的是()A.若 K2的观测值为 6.635,则在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,因此在 100 个吸烟的人中必有 99 个患有肺病 B.由独立性检验知,在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为吸烟与患肺病有关系时,我们说某人吸烟,则他有 99%的可能患肺病 C.若在统计量中求出在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 答案:C 解析:独立性检验只表明两个分类变量的相关程度,而不是事件是否发生的概率估计.3.两个随机变量 x,y 的取值如下表:x 0 1 3
3、 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 若 x,y 具有线性相关关系,且 x+2.6,则下列四个结论错误的是()A.x 与 y 是正相关 B.当 x=6 时,y 的估计值为 8.3 C.x 每增加一个单位,y 大约增加 0.95 个单位 D.样本点(3,4.8)的残差为 0.56 答案:D 解析:由表格中的数据可知选项 A 正确;1(0+1+3+4)=2,1(2.2+4.3+4.8+6.7)=4.5,4.5=2 +2.6,即 =0.95,=0.95x+2.6.当 x=6 时,=0.956+2.6=8.3,故选项 B 正确;由 =0.95 +2.6 可知选项 C 正确;当 x=3 时,=0.9
4、53+2.6=5.45,残差是 5.45-4.8=0.65,故选项 D 错误.4.“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如下的列联表:性别“光盘”做不到“光盘”能做到“光盘”男 45 10 女 30 15 则下面的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到光盘与性别无关”C.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为“该市居民能否做到光盘与性别有关”D.在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下,认为“该市
5、居民能否做到光盘与性别无关”答案:A 解析:由 22 列联表得到 a=45,b=10,c=30,d=15,则a+b=55,c+d=45,a+c=75,b+d=25,ad=675,bc=300,n=100,计算得 K2的观测值 k=100 -00)2 2 3.030.因为 2.70610.828,所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为 X 与 Y 之间有关系.6.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,算得 110 xi=80,110yi=20,110 xiyi=184,110 2=720.(1)求家庭的
6、月储蓄 对月收入 x 的线性回归方程 x+;(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.解:(1)由题意知 n=10,110 110 xi=010=8,110 110yi=2010=2,又 110 2-10 2=720-1082=80,110 xiyi-10 =184-1082=24,由此得 2 0=0.3,=2-0.38=-0.4,故所求线性回归方程为 =0.3x-0.4.(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(=0.30),因此 x 与 y 之间是正相关.(3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 =
7、0.37-0.4=1.7(千元).能力提升 7.某青少年成长关爱机构为了调研所在地区青少年的年龄与身高状况,随机抽取 6 岁、9 岁、12 岁、15 岁、18 岁的青少年身高数据各 1 000 个,根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线 l.根据图中数据,下列对该样本描述错误的是()A.根据样本数据,估计该地区青少年身高与年龄成正相关 B.所抽取数据中,5 000 名青少年平均身高约为 145 cm C.直线 l 的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量 D.从这 5 种年龄的青少年中各取一人的身高数据,由这 5 人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线 l 上 答案:
8、D 解析:在给定范围内,随着年龄的增加,年龄越大,身高越高,该地区青少年身高与年龄成正相关,故 A正确;用样本数据估计总体可得平均身高约是 145cm,故 B 正确;根据直线斜率的意义可知斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量,故 C 正确;各取一人具有随机性,根据数据作出的点只能在直线附近,不一定在直线上,故 D 错误,故选 D.8.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程 x+,若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=bx+a,则以下结论正确的是()A b,
9、a B b,a C a D b,a 答案:C 解析:由题意可知,b=2,a=-2,1 )1 )2 1 2=-1,则 a,故选 C.9.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩,得到如下的列联表:班级 成绩 总计 优秀 非优秀 甲班 10 b 乙班 c 30 总计 已知在全部 105 人中随机抽取 1 人,成绩优秀的概率为2,则下列说法正确的是 .(填序号)列联表中 c 的值为 30,b 的值为 35;列联表中 c 的值为 15,b 的值为 50;根据列联表中的数据,若在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,能认为“成绩与班级有关系”;根据列联
10、表中的数据,若在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”.答案:解析:由题意知,成绩优秀的学生人数是 30,成绩非优秀的学生人数是 75,所以 c=20,b=45,错误.根据列联表中的数据,得到 K2的观测值 k=10 10 0-20 )2 0 0 6.65.024,因此在犯错误的概率不超过0.025 的前提下认为“成绩与班级有关系”.故正确,错误.高考预测 10.国内某知名大学有男生 14 000 人,女生 10 000 人.该校体育学院想了解本校学生的运动状况,根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人,统计他们平均每天运动的时间,如下表.(平均每
11、天运动的时间单位:h,该校学生平均每天运动的时间范围是0,3)男生平均每天运动的时间分布情况:平均每天 运动的时间 0,0.5)0.5,1)1,1.5)1.5,2)2,2.5)2.5,3 人 数 2 12 23 18 10 x 女生平均每天运动的时间分布情况:平均每天 运动的时间 0,0.5)0.5,1)1,1.5)1.5,2)2,2.5)2.5,3 人 数 5 12 18 10 3 y(1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到 0.1);(2)若规定平均每天运动的时间不少于 2 h 的学生为“运动达人”,低于 2 h 的学生为“非运动达人”.请根据样本估算该校“运动达人”的数
12、量;请根据上述表格中的统计数据填写下面 22 列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“运动达人”与性别有关?性别 运动 总计 运动达人 非运动达人 男生 女生 总计 参考公式:K2=-)2 ),其中 n=a+b+c+d.参考数据:P(K2k0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(1)由分层抽样可知,抽取的男生人数为 120 1 0001 000 10000=70,抽取的女生人数为 120-70=50,故x=5,y=2.则该校男生平均每天运动的时间为 0 2 2 0 12 1 2 2 1 1 2 2 10 2 01.5(h),故该校男生平均每天运动的时间约为 1.5h.(2)样本中“运动达人”所占比例是20120 1,故估计该校“运动达人”有1 (14000+10000)=4000(人).由表格可知:性别 运动 总计 运动达人 非运动达人 男生 15 55 70 女生 5 45 50 总计 20 100 120 故 K2的观测值 k=120 1 -)220 100 0 0 2.7433.841.故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“运动达人”与性别有关.
