1、考点规范练51抛物线基础巩固1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案:B解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知116
2、-y0=1,y0=-1516.3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案:B解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物
3、线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.6答案:A解析:抛物线y2=4x,p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.5.(2020全国,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则抛物线C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)答案:B解析:抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又ODOE,ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2),将其代入
4、y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为12,0.6.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,|BN|=3,|AM|=6,故选A.7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距
5、离为10,则M到y轴的距离是.答案:9解析:设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.8.(2020山东,13)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.答案:163解析:如图所示,直线与抛物线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),F(1,0),准线方程为x=-1,作AA,BB垂直于准线,交准线于点A,B,由抛物线的定义知|AA|=|AF|,|BB|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p.由y=3(x-1),y2=4
6、x,得3x2-10x+3=0,x1+x2=103,|AB|=103+2=163.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解:(1)由题意得直线AB的方程为y=22x-p2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0
7、,则x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,从而A(1,-22),B(4,42).设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程;(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0),化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1)
8、,B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.因为FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又FAFB0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+10,因为x=y24,所以不等式可变形为y124y224+y1y2-y124+y224+10,即(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+10.将代入整理得m2-6m+14t2.因为对任意实数t,4t2的最小值为0,
9、所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+10,即3-22m3+22.由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有FAFB0)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案:C解析:3|FA|=|FB|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故选C.13.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22)x0p2为圆
10、心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,若|MA|AF|=2,则|AF|=.答案:1解析:由抛物线的定义得|MF|=x0+p2.圆与y轴相切,|MA|=x0.圆被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,圆心到直线x=p2的距离为|MA|2-32|MA|2=12|MA|,|MA|=2x0-p2,2x0-p2=x0,解得x0=p.M(p,22),2p2=8,p=2.|MA|AF|=2,|AF|=12|MA|=12p=1.14.设动点P(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)
11、是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.答案:(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,x11=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2
12、+4k+4k2.x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,直线MN的斜率为定值-1.高考预测15.已知点F是抛物线y2=2px(p0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:B解析:过点A作ABx轴于点B,则RtABF中,AFB=60,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.设点A的坐标为(x0,3)x0p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.
