1、考点规范练49椭圆基础巩固1.已知椭圆的焦点坐标为(-5,0)和(5,0),椭圆上一点与两焦点的距离和是26,则椭圆的方程为()A.x2169+y2144=1B.x2144+y2169=1C.x2169+y225=1D.x2144+y225=1答案:A解析:由题意知a=13,c=5,则b2=a2-c2=144.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆方程为x2169+y2144=1.2.已知椭圆x29+y24+k=1的离心率为45,则k的值为()A.-1925B.21C.-1925或21D.1925或21答案:C解析:若a2=9,b2=4+k,则c=5-k,由ca=45,即5-k3=45,得k=-1925;
2、若a2=4+k,b2=9,则c=k-5,由ca=45,即k-54+k=45,解得k=21.3.若曲线ax2+by2=1是焦点在x轴上的椭圆,则实数a,b满足()A.a2b2B.1a1bC.0abD.0b1b0,所以0a|MN|,由椭圆定义知,动点P的轨迹是椭圆.6.已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是()A.55,1B.22,1C.0,55D.0,22答案:B解析:F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右两个焦点,离心率0e1,F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2.设点
3、P(x,y),由PF1PF2,得(x-c,y)(x+c,y)=0,化简得x2+y2=c2,联立方程组x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1,整理,得x2=(2c2-a2)a2c20,解得e22,又0e1,22e1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AGGB=8.P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求椭圆E的方程;(2)证明:直线CD过定点.答案:(1)解由题设得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).则AG=(a,1),GB=(a,-1).由AGGB=8得a2-1=8,即a=3.所以椭圆E的方程为x29+y2=1.(2)证明设C(x1,y1),D(x
4、2,y2),P(6,t).若t0,设直线CD的方程为x=my+n,由题意可知-3nb0)的离心率为63,焦距为22.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q-74,14共线,求k.解:(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1.所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m2-3=
5、0,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34.所以|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=2(x2-x1)2=2(x1+x2)2-4x1x2=12-3m22.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为6.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得x12+3y12=3,x22+3y22=3.直线PA的方程为y=y1x1+2(x+2).由y=y1x1+2(x+2),x2+3y2=3,得(x1+2)2+3y12x2+12y12x+12y12-3(x1+2)2=0.设C(xC,yC),所以xC+x1=-12y12(x1+2)2+3y12=4x12-124x1+7.所以x
6、C=4x12-124x1+7-x1=-12-7x14x1+7.所以yC=y1x1+2(xC+2)=y14x1+7.设D(xD,yD),同理得xD=-12-7x24x2+7,yD=y24x2+7.记直线CQ,DQ的斜率分别为kCQ,kDQ,则kCQ-kDQ=y14x1+7-14-12-7x14x1+7+74-y24x2+7-14-12-7x24x2+7+74=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以kCQ-kDQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=1.能力提升10.已知P是椭圆x225+y2b2=1(0bb0)的焦点为F1,F2,若椭圆上存
7、在满足PF1PF2=b22的点P,则椭圆的离心率的范围是.答案:33,1解析:椭圆的焦点为F1,F2,椭圆上存在满足PF1PF2=b22的点P,|PF1|PF2|cos=b22,4c2=PF12+PF22-2|PF1|PF2|cos,|PF1|+|PF2|=2a,可得PF12+PF22+2|PF1|PF2|=4a2,4c2=4a2-2|PF1|PF2|-b2.2|PF1|PF2|=3a2-3c22|PF1|+|PF2|22,当且仅当|PF1|=|PF2|时,等号成立.可得c2a213,解得e33.又0e1,e33,1.12.已知椭圆C:x225+y2m2=1(0m0,由题意知yP0.由已知可得
8、B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故AP1Q1的面积为1210210=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故AP2Q2的面积为1213026130=52.综
9、上,APQ的面积为52.高考预测13.椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作垂直于x轴的直线l与椭圆E在第一象限交于点P,若|PF1|=5,且3a=b2.(1)求椭圆E的方程;(2)A,B是椭圆C上位于直线l两侧的两点.若直线AB过点(1,-1),且APF2=BPF2,求直线AB的方程.解:(1)由题意可得|PF2|=b2a=3,因为|PF1|=5,由椭圆的定义得a=4,所以b2=12,故椭圆E的方程为x216+y212=1.(2)易知点P的坐标为(2,3).因为APF2=BPF2,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率
10、为-k,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线PA的方程为y-3=k(x-2),由y-3=k(x-2),x216+y212=1可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,所以x1+2=8k(2k-3)3+4k2,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=-8k(-2k-3)3+4k2=8k(2k+3)3+4k2,所以x1+x2=16k2-123+4k2,x1-x2=-48k3+4k2,kAB=y1-y2x1-x2=k(x1-2)+3+k(x2-2)-3x1-x2=k(x1+x2)-4kx1-x2=12,所以满足条件的直线AB的方程为y+1=12(x-1),即为x-2y-3=0.
